حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 A) = \frac{\sqrt{85}}{11}$

خطوة 1

استخدِم تعريف الجيب لإيجاد أطوال الأضلاع المعروفة للمثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة. يحدد الربع علامة كل قيمة من القيم.

$\sin (2 A) = \frac{مقابل}{وتر}$

خطوة 2

أوجِد الضلع المجاور لمثلث دائرة الوحدة. ونظرًا إلى أن الوتر والضلع المقابل معروفان، استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المتبقي.

$المجاور = - \sqrt{{وتر}^{2} - {مقابل}^{2}}$

خطوة 3

استبدِل القيم المعروفة في المعادلة.

$المجاور = - \sqrt{{(11)}^{2} - {(\sqrt{85})}^{2}}$

خطوة 4

بسّط ما تحت علامة الجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد نفي $\sqrt{{(11)}^{2} - {(\sqrt{85})}^{2}}$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{{(11)}^{2} - {(\sqrt{85})}^{2}}$

خطوة 4.2

ارفع $11$ إلى القوة $2$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{121 - {(\sqrt{85})}^{2}}$

خطوة 4.3

أعِد كتابة ${\sqrt{85}}^{2}$ بالصيغة $85$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{85}$ في صورة $85^{\frac{1}{2}}$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{121 - {(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{121 - 85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{121 - 85^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

الضلع المجاور $= - \sqrt{121 - 85^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

الضلع المجاور $= - \sqrt{121 - 85}$

خطوة 4.3.5

احسِب قيمة الأُس.

الضلع المجاور $= - \sqrt{121 - 1 \cdot 85}$

خطوة 4.4

اضرب $- 1$ في $85$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{121 - 85}$

خطوة 4.5

اطرح $85$ من $121$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{36}$

خطوة 4.6

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{6^{2}}$

خطوة 4.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

الضلع المجاور $= - 1 \cdot 6$

خطوة 4.8

اضرب $- 1$ في $6$ .

الضلع المجاور $= - 6$

خطوة 5

أوجِد قيمة جيب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم تعريف جيب التمام لإيجاد قيمة $\cos (2 A)$ .

$\cos (2 A) = \frac{adj}{hyp}$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cos (2 A) = \frac{- 6}{11}$

خطوة 5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (2 A) = - \frac{6}{11}$

خطوة 6

أوجد قيمة المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم تعريف الظل لإيجاد قيمة $\tan (2 A)$ .

$\tan (2 A) = \frac{opp}{adj}$

خطوة 6.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\tan (2 A) = \frac{\sqrt{85}}{- 6}$

خطوة 6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\tan (2 A) = - \frac{\sqrt{85}}{6}$

خطوة 7

أوجِد قيمة ظل التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم تعريف ظل التمام لإيجاد قيمة $\cot (2 A)$ .

$\cot (2 A) = \frac{adj}{opp}$

خطوة 7.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cot (2 A) = \frac{- 6}{\sqrt{85}}$

خطوة 7.3

بسّط قيمة $\cot (2 A)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cot (2 A) = - \frac{6}{\sqrt{85}}$

خطوة 7.3.2

اضرب $\frac{6}{\sqrt{85}}$ في $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cot (2 A) = - (\frac{6}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}})$

خطوة 7.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اضرب $\frac{6}{\sqrt{85}}$ في $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

خطوة 7.3.3.2

ارفع $\sqrt{85}$ إلى القوة $1$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

خطوة 7.3.3.3

ارفع $\sqrt{85}$ إلى القوة $1$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

خطوة 7.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

خطوة 7.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{85}}^{2}$ بالصيغة $85$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{85}$ في صورة $85^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

خطوة 7.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

خطوة 8

أوجِد قيمة القاطع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم تعريف القاطع لإيجاد قيمة $\sec (2 A)$ .

$\sec (2 A) = \frac{hyp}{adj}$

خطوة 8.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sec (2 A) = \frac{11}{- 6}$

خطوة 8.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sec (2 A) = - \frac{11}{6}$

خطوة 9

أوجِد قيمة قاطع التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم تعريف قاطع التمام لإيجاد قيمة $\csc (2 A)$ .

$\csc (2 A) = \frac{hyp}{opp}$

خطوة 9.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\csc (2 A) = \frac{11}{\sqrt{85}}$

خطوة 9.3

بسّط قيمة $\csc (2 A)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $\frac{11}{\sqrt{85}}$ في $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\csc (2 A) = \frac{11}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$

خطوة 9.3.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

اضرب $\frac{11}{\sqrt{85}}$ في $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

خطوة 9.3.2.2

ارفع $\sqrt{85}$ إلى القوة $1$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

خطوة 9.3.2.3

ارفع $\sqrt{85}$ إلى القوة $1$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

خطوة 9.3.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

خطوة 9.3.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{85}}^{2}$ بالصيغة $85$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{85}$ في صورة $85^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{85}$

خطوة 9.3.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{85}$

خطوة 10

هذا هو الحل لكل قيمة من القيم المثلثية.

$\sin (2 A) = \frac{\sqrt{85}}{11}$

$\cos (2 A) = - \frac{6}{11}$

$\tan (2 A) = - \frac{\sqrt{85}}{6}$

$\cot (2 A) = - \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

$\sec (2 A) = - \frac{11}{6}$

$\csc (2 A) = \frac{11 \sqrt{85}}{85}$