حساب المثلثات الأمثلة

$\sec (θ) = - \sqrt{10}$ , $\cot (θ) > 0$

خطوة 1

The cotangent function is positive in the first and third quadrants. The secant function is negative in the second and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

الحل في الربع الثالث.

خطوة 2

استخدِم تعريف القاطع لإيجاد أطوال الأضلاع المعروفة للمثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة. يحدد الربع علامة كل قيمة من القيم.

$\sec (θ) = \frac{وتر}{مجاور}$

خطوة 3

أوجِد الضلع المقابل لمثلث دائرة الوحدة. ونظرًا إلى أن الضلع المجاور والوتر معروفان، استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المتبقي.

$المقابل = - \sqrt{{وتر}^{2} - {مجاور}^{2}}$

خطوة 4

استبدِل القيم المعروفة في المعادلة.

$المقابل = - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط ما تحت علامة الجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد نفي $\sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة ${\sqrt{10}}^{2}$ بالصيغة $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{10}$ في صورة $10^{\frac{1}{2}}$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

الضلع المقابل $= - \sqrt{10^{\frac{2}{2}} - {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

الضلع المقابل $= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.2.5

احسِب قيمة الأُس.

الضلع المقابل $= - \sqrt{10 - {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.3

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $- 1$ في ${(- 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $1$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{10 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

الضلع المقابل $= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

خطوة 5.3.2

أضف $1$ و $2$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{10 + {(- 1)}^{3}}$

خطوة 5.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{10 - 1}$

خطوة 5.5

اطرح $1$ من $10$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9}$

خطوة 5.6

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{3^{2}}$

خطوة 5.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

الضلع المقابل $= - 1 \cdot 3$

خطوة 5.8

اضرب $- 1$ في $3$ .

الضلع المقابل $= - 3$

خطوة 6

أوجِد قيمة الجيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم تعريف الجيب لإيجاد قيمة $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

خطوة 6.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{10}}$

خطوة 6.3

بسّط قيمة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (θ) = - \frac{3}{\sqrt{10}}$

خطوة 6.3.2

اضرب $\frac{3}{\sqrt{10}}$ في $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

خطوة 6.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اضرب $\frac{3}{\sqrt{10}}$ في $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

خطوة 6.3.3.2

ارفع $\sqrt{10}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

خطوة 6.3.3.3

ارفع $\sqrt{10}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

خطوة 6.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

خطوة 6.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

خطوة 6.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{10}}^{2}$ بالصيغة $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{10}$ في صورة $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

خطوة 6.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

خطوة 7

أوجِد قيمة جيب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم تعريف جيب التمام لإيجاد قيمة $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

خطوة 7.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{10}}$

خطوة 7.3

بسّط قيمة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{10}}$

خطوة 7.3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{10}}$ في $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

خطوة 7.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{10}}$ في $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

خطوة 7.3.3.2

ارفع $\sqrt{10}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

خطوة 7.3.3.3

ارفع $\sqrt{10}$ إلى القوة $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

خطوة 7.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

خطوة 7.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{10}}^{2}$ بالصيغة $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{10}$ في صورة $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

خطوة 7.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

خطوة 8

أوجد قيمة المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم تعريف الظل لإيجاد قيمة $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

خطوة 8.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\tan (θ) = \frac{- 3}{- 1}$

خطوة 8.3

اقسِم $- 3$ على $- 1$ .

$\tan (θ) = 3$

خطوة 9

أوجِد قيمة ظل التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم تعريف ظل التمام لإيجاد قيمة $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

خطوة 9.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 3}$

خطوة 9.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\cot (θ) = \frac{1}{3}$

خطوة 10

أوجِد قيمة قاطع التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استخدِم تعريف قاطع التمام لإيجاد قيمة $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

خطوة 10.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{10}}{- 3}$

خطوة 10.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$

خطوة 11

هذا هو الحل لكل قيمة من القيم المثلثية.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\tan (θ) = 3$

$\cot (θ) = \frac{1}{3}$

$\sec (θ) = - \sqrt{10}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{10}}{3}$