حساب المثلثات الأمثلة

$2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) - 1 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لنفترض أن $u = \sin (θ)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\sin (θ)$ .

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

خطوة 1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $1$ زائد $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

خطوة 1.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

خطوة 1.2.1.4

اضرب $u$ في $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (θ)$ .

$(2 \sin (θ) + 1) (\sin (θ) - 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

$\sin (θ) - 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $2 \sin (θ) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $2 \sin (θ) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \sin (θ) + 1 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $θ$ في $2 \sin (θ) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \sin (θ) = - 1$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $2 \sin (θ) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \sin (θ) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (θ)$ على $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{1}{2})$ هي $- 30$ .

$θ = - 30$

خطوة 3.2.5

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $360$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $180$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 360 + 30 + 180$

خطوة 3.2.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

اطرح $360 °$ من $360 + 30 + 180 °$ .

$θ = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

خطوة 3.2.6.2

الزاوية الناتجة لـ $210 °$ موجبة وأصغر من $360 °$ ومشتركة النهاية مع $360 + 30 + 180$ .

$θ = 210 °$

خطوة 3.2.7

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 3.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 3.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 3.2.7.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 3.2.8

اجمع $360$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

اجمع $360$ مع $- 30$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 30 + 360$

خطوة 3.2.8.2

اطرح $30$ من $360$ .

$330$

خطوة 3.2.8.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = 330$

خطوة 3.2.9

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\sin (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\sin (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\sin (θ) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\sin (θ) = 1$

خطوة 4.2.2

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (1)$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $90$ .

$θ = 90$

خطوة 4.2.4

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$θ = 180 - 90$

خطوة 4.2.5

اطرح $90$ من $180$ .

$θ = 90$

خطوة 4.2.6

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 4.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 4.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 4.2.6.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 4.2.7

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 90 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 \sin (θ) + 1) (\sin (θ) - 1) = 0$ صحيحة.

$θ = 210 + 360 n, 330 + 360 n, 90 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

وحّد الإجابات.

$θ = 90 + 120 n$ ، لأي عدد صحيح $n$