حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 1

استخدِم تعريف الجيب لإيجاد أطوال الأضلاع المعروفة للمثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة. يحدد الربع علامة كل قيمة من القيم.

$\sin (θ) = \frac{مقابل}{وتر}$

خطوة 2

أوجِد الضلع المجاور لمثلث دائرة الوحدة. ونظرًا إلى أن الوتر والضلع المقابل معروفان، استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المتبقي.

$المجاور = - \sqrt{{وتر}^{2} - {مقابل}^{2}}$

خطوة 3

استبدِل القيم المعروفة في المعادلة.

$المجاور = - \sqrt{{(5)}^{2} - {(- 2 \sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 4

بسّط ما تحت علامة الجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد نفي $\sqrt{{(5)}^{2} - {(- 2 \sqrt{5})}^{2}}$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{{(5)}^{2} - {(- 2 \sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 4.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{25 - {(- 2 \sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 4.3

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 \sqrt{5}$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{25 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

خطوة 4.4

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{25 - (4 {\sqrt{5}}^{2})}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{25 - (4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

خطوة 4.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

خطوة 4.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

خطوة 4.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

الضلع المجاور $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5^{\frac{2}{2}})}$

خطوة 4.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

الضلع المجاور $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5)}$

خطوة 4.5.5

احسِب قيمة الأُس.

الضلع المجاور $= - \sqrt{25 - (4 \cdot 5)}$

خطوة 4.6

اضرب $- (4 \cdot 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $4$ في $5$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{25 - 1 \cdot 20}$

خطوة 4.6.2

اضرب $- 1$ في $20$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{25 - 20}$

خطوة 4.7

اطرح $20$ من $25$ .

الضلع المجاور $= - \sqrt{5}$

خطوة 5

أوجِد قيمة جيب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم تعريف جيب التمام لإيجاد قيمة $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{5}$

خطوة 5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

خطوة 6

أوجد قيمة المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم تعريف الظل لإيجاد قيمة $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

خطوة 6.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\tan (θ) = \frac{- 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{5}}$

خطوة 6.3

بسّط قيمة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\tan (θ) = \frac{- 2 \sqrt{5}}{- \sqrt{5}}$

خطوة 6.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\tan (θ) = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 6.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{- 2}{- 1}$ .

$\tan (θ) = - 1 \cdot - 2$

خطوة 6.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

أعِد كتابة $- 1 \cdot - 2$ بالصيغة $- - 2$ .

$\tan (θ) = 2$

خطوة 6.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\tan (θ) = 2$

خطوة 7

أوجِد قيمة ظل التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم تعريف ظل التمام لإيجاد قيمة $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

خطوة 7.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{- 2 \sqrt{5}}$

خطوة 7.3

بسّط قيمة $\cot (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{- 2 \sqrt{5}}$

خطوة 7.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2}$

خطوة 7.3.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

خطوة 8

أوجِد قيمة القاطع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم تعريف القاطع لإيجاد قيمة $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

خطوة 8.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sec (θ) = \frac{5}{- \sqrt{5}}$

خطوة 8.3

بسّط قيمة $\sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sec (θ) = - \frac{5}{\sqrt{5}}$

خطوة 8.3.2

اضرب $\frac{5}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{5}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

خطوة 8.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

اضرب $\frac{5}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.3.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.3.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 8.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 8.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 8.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 8.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 8.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 8.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 8.3.4.2

اقسِم $\sqrt{5}$ على $1$ .

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

خطوة 9

أوجِد قيمة قاطع التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم تعريف قاطع التمام لإيجاد قيمة $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

خطوة 9.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\csc (θ) = \frac{5}{- 2 \sqrt{5}}$

خطوة 9.3

بسّط قيمة $\csc (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\csc (θ) = - \frac{5}{2 \sqrt{5}}$

خطوة 9.3.2

اضرب $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{5}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

خطوة 9.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اضرب $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 9.3.3.2

انقُل $\sqrt{5}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

خطوة 9.3.3.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

خطوة 9.3.3.4

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

خطوة 9.3.3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.3.6

أضف $1$ و $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 9.3.3.7

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.3.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.3.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

خطوة 9.3.3.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

خطوة 9.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\csc (θ) = - \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

خطوة 9.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

خطوة 10

هذا هو الحل لكل قيمة من القيم المثلثية.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = 2$

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$