حساب المثلثات الأمثلة

$4 \sin^{2} (θ) - 4 \sin (θ) + 1 = 0$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\sin (θ)$ التي تساوي $u$ .

$4 {(u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $4 u^{2}$ بالصيغة ${(2 u)}^{2}$ .

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1^{2} = 0$

خطوة 2.3

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

خطوة 2.4

أعِد كتابة متعدد الحدود.

${(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

خطوة 2.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = 2 u$ و $b = 1$ .

${(2 u - 1)}^{2} = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة $2 u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u - 1 = 0$

خطوة 4

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 u = 1$

خطوة 4.2

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

خطوة 5

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

خطوة 6

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

خطوة 7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

خطوة 8

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$θ = π - \frac{π}{6}$

خطوة 9

بسّط $π - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 9.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $π$ و $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 9.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 9.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

خطوة 9.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

خطوة 10

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 10.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 10.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 10.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 11

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$