حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$ , $\tan (θ) > 0$

خطوة 1

The tangent function is positive in the first and third quadrants. The sine function is positive in the first and second quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the first quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

الحل في الربع الأول.

خطوة 2

استخدِم تعريف الجيب لإيجاد أطوال الأضلاع المعروفة للمثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة. يحدد الربع علامة كل قيمة من القيم.

$\sin (θ) = \frac{مقابل}{وتر}$

خطوة 3

أوجِد الضلع المجاور لمثلث دائرة الوحدة. ونظرًا إلى أن الوتر والضلع المقابل معروفان، استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المتبقي.

$المجاور = \sqrt{{وتر}^{2} - {مقابل}^{2}}$

خطوة 4

استبدِل القيم المعروفة في المعادلة.

$المجاور = \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط ما تحت علامة الجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

الضلع المجاور $= \sqrt{16 - {(1)}^{2}}$

خطوة 5.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

الضلع المجاور $= \sqrt{16 - 1 \cdot 1}$

خطوة 5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

الضلع المجاور $= \sqrt{16 - 1}$

خطوة 5.4

اطرح $1$ من $16$ .

الضلع المجاور $= \sqrt{15}$

خطوة 6

أوجِد قيمة جيب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم تعريف جيب التمام لإيجاد قيمة $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

خطوة 6.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

خطوة 7

أوجد قيمة المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم تعريف الظل لإيجاد قيمة $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

خطوة 7.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{15}}$

خطوة 7.3

بسّط قيمة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{15}}$ في $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

خطوة 7.3.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{15}}$ في $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

خطوة 7.3.2.2

ارفع $\sqrt{15}$ إلى القوة $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

خطوة 7.3.2.3

ارفع $\sqrt{15}$ إلى القوة $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

خطوة 7.3.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.3.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

خطوة 7.3.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{15}}^{2}$ بالصيغة $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{15}$ في صورة $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.3.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.3.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.3.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15}$

خطوة 7.3.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15}$

خطوة 8

أوجِد قيمة ظل التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم تعريف ظل التمام لإيجاد قيمة $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

خطوة 8.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{15}}{1}$

خطوة 8.3

اقسِم $\sqrt{15}$ على $1$ .

$\cot (θ) = \sqrt{15}$

خطوة 9

أوجِد قيمة القاطع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم تعريف القاطع لإيجاد قيمة $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

خطوة 9.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sec (θ) = \frac{4}{\sqrt{15}}$

خطوة 9.3

بسّط قيمة $\sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $\frac{4}{\sqrt{15}}$ في $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = \frac{4}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

خطوة 9.3.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

اضرب $\frac{4}{\sqrt{15}}$ في $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

خطوة 9.3.2.2

ارفع $\sqrt{15}$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

خطوة 9.3.2.3

ارفع $\sqrt{15}$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

خطوة 9.3.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

خطوة 9.3.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{15}}^{2}$ بالصيغة $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{15}$ في صورة $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

خطوة 9.3.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

خطوة 10

أوجِد قيمة قاطع التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استخدِم تعريف قاطع التمام لإيجاد قيمة $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

خطوة 10.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\csc (θ) = \frac{4}{1}$

خطوة 10.3

اقسِم $4$ على $1$ .

$\csc (θ) = 4$

خطوة 11

هذا هو الحل لكل قيمة من القيم المثلثية.

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15}$

$\cot (θ) = \sqrt{15}$

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

$\csc (θ) = 4$