حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

خطوة 1

استبدِل $\cos^{2} (θ)$ بـ $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) \cot (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد ترتيب $\sin (θ)$ و $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة $\sin (θ) \cot (θ)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

خطوة 2.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$\cos (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) = 0$

خطوة 2.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

خطوة 3

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $\cos (θ) - \cos^{2} (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $\cos^{1} (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 - \cos^{2} (θ) = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $- \cos^{2} (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ)) = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (θ) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (0)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $90$ .

$θ = 90$

خطوة 5.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $360$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 360 - 90$

خطوة 5.2.4

اطرح $90$ من $360$ .

$θ = 270$

خطوة 5.2.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 5.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 5.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 5.2.5.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 5.2.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $1 - \cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $1 - \cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $θ$ في $1 - \cos (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \cos (θ) = - 1$

خطوة 6.2.2

اقسِم كل حد في $- \cos (θ) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \cos (θ) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.2.2.2.2

اقسِم $\cos (θ)$ على $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

خطوة 6.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (1)$

خطوة 6.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$θ = 0$

خطوة 6.2.5

$θ = 360 - 0$

خطوة 6.2.6

اطرح $0$ من $360$ .

$θ = 360$

خطوة 6.2.7

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 6.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 6.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 6.2.7.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 6.2.8

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 360 n, 360 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ صحيحة.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 360 n, 360 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ادمج $90 + 360 n$ و $270 + 360 n$ في $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 360 n, 360 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.2

ادمج $360 n$ و $360 + 360 n$ في $360 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$ صحيحة.

$θ = 90, 270, 360, 450, 630, 720, 810, 990, 1080, 1170, 1350, 1440, 1800, 2160, 2520$ ، لأي عدد صحيح $n$