حساب المثلثات الأمثلة

$- 5 \sin (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 4$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $2 \cos^{2} (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$- 5 \sin (x) + 2 \cos^{2} (x) = 4$

خطوة 1.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- 5 \sin (x) + 2 \cos^{2} (x) - 4 = 0$

خطوة 2

استبدِل $2 \cos^{2} (x)$ بـ $2 (1 - \sin^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 5 \sin (x) + 2 (1 - \sin^{2} (x)) - 4 = 0$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 5 \sin (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - 4 = 0$

خطوة 3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$- 5 \sin (x) + 2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - 4 = 0$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 5 \sin (x) + 2 - 2 \sin^{2} (x) - 4 = 0$

خطوة 4

اطرح $4$ من $2$ .

$- 5 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 = 0$

خطوة 5

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- 2 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x) - 2 = 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 5 u - 2 = 0$

خطوة 7

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 u^{2} - 5 u - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) - 5 u - 2 = 0$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 u$ .

$- (2 u^{2}) - (5 u) - 2 = 0$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$- (2 u^{2}) - (5 u) - 1 \cdot 2 = 0$

خطوة 7.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 u^{2}) - (5 u)$ .

$- (2 u^{2} + 5 u) - 1 \cdot 2 = 0$

خطوة 7.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 u^{2} + 5 u) - 1 (2)$ .

$- (2 u^{2} + 5 u + 2) = 0$

خطوة 7.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ ومجموعهما $b = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 u$ .

$- (2 u^{2} + 5 u + 2) = 0$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة $5$ في صورة $1$ زائد $4$

$- (2 u^{2} + (1 + 4) u + 2) = 0$

خطوة 7.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- (2 u^{2} + 1 u + 4 u + 2) = 0$

خطوة 7.2.1.1.4

اضرب $u$ في $1$ .

$- (2 u^{2} + u + 4 u + 2) = 0$

خطوة 7.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- (2 u^{2} + u + 4 u + 2) = 0$

خطوة 7.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- (u (2 u + 1) + 2 (2 u + 1)) = 0$

خطوة 7.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u + 1$ .

$- ((2 u + 1) (u + 2)) = 0$

خطوة 7.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (2 u + 1) (u + 2) = 0$

خطوة 8

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u + 2 = 0$

خطوة 9

عيّن قيمة العبارة $2 u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة $2 u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u + 1 = 0$

خطوة 9.2

أوجِد قيمة $u$ في $2 u + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 u = - 1$

خطوة 9.2.2

اقسِم كل حد في $2 u = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 9.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 9.2.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

خطوة 9.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{1}{2}$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 2 = 0$

خطوة 10.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$u = - 2$

خطوة 11

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (2 u + 1) (u + 2) = 0$ صحيحة.

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

خطوة 12

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

خطوة 13

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 2$

خطوة 14

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

خطوة 14.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{1}{2})$ هي $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

خطوة 14.3

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

خطوة 14.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

خطوة 14.4.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{7 π}{6}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

خطوة 14.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 14.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 14.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 14.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 14.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{6}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

خطوة 14.6.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 14.6.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

خطوة 14.6.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

خطوة 14.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.4.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

خطوة 14.6.4.2

اطرح $π$ من $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

خطوة 14.6.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = \frac{11 π}{6}$

خطوة 14.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 15

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- 2$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 16

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$