حساب المثلثات الأمثلة

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

خطوة 1

استبدِل $2 \sec^{2} (θ)$ بـ $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ بناءً على المتطابقة $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

خطوة 2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

خطوة 3

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

خطوة 4

عوّض بـ $u = \tan^{2} (θ)$ في المعادلة. سيسهّل ذلك استخدام الصيغة التربيعية.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

خطوة 5

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

خطوة 6

أضف $2$ و $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

خطوة 7

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u^{2} + 2 u + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

خطوة 7.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

خطوة 7.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

خطوة 7.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

حلّل $u^{2} - 2 u - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 3$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 3, 1$

خطوة 7.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

خطوة 7.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

خطوة 8

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

خطوة 9

عيّن قيمة العبارة $u - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة $u - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 3 = 0$

خطوة 9.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 3$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 1 = 0$

خطوة 10.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$u = - 1$

خطوة 11

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (u - 3) (u + 1) = 0$ صحيحة.

$u = 3, - 1$

خطوة 12

عوّض بالقيمة الحقيقية لـ $u = \tan^{2} (θ)$ مرة أخرى في المعادلة المحلولة.

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\tan (θ)$ في المعادلة الأولى.

$\tan^{2} (θ) = 3$

خطوة 14

أوجِد قيمة $\tan (θ)$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

خطوة 14.2

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

خطوة 14.2.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

خطوة 14.2.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 15

أوجِد قيمة $\tan (θ)$ في المعادلة الثانية.

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

خطوة 16

أوجِد قيمة $\tan (θ)$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

احذِف الأقواس.

$\tan^{2} (θ) = - 1$

خطوة 16.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

خطوة 16.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$\tan (θ) = \pm i$

خطوة 16.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\tan (θ) = i$

خطوة 16.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\tan (θ) = - i$

خطوة 16.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\tan (θ) = i, - i$

خطوة 17

حل $- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ هو $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

خطوة 18

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

خطوة 19

أوجِد قيمة $θ$ في $\tan (θ) = \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

خطوة 19.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (\sqrt{3})$ هي $60$ .

$θ = 60$

خطوة 19.3

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 180 + 60$

خطوة 19.4

أضف $180$ و $60$ .

$θ = 240$

خطوة 19.5

أوجِد فترة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

خطوة 19.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{180}{| 1 |}$

خطوة 19.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{180}{1}$

خطوة 19.5.4

اقسِم $180$ على $1$ .

$180$

خطوة 19.6

فترة دالة $\tan (θ)$ هي $180$ ، لذا تتكرر القيم كل $180$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 20

أوجِد قيمة $θ$ في $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

خطوة 20.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- \sqrt{3})$ هي $- 60$ .

$θ = - 60$

خطوة 20.3

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = - 60 - 180$

خطوة 20.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.4.1

أضف $360 °$ إلى $- 60 - 180 °$ .

$θ = - 60 - 180 ° + 360 °$

خطوة 20.4.2

الزاوية الناتجة لـ $120 °$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- 60 - 180$ .

$θ = 120 °$

خطوة 20.5

أوجِد فترة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

خطوة 20.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{180}{| 1 |}$

خطوة 20.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{180}{1}$

خطوة 20.5.4

اقسِم $180$ على $1$ .

$180$

خطوة 20.6

اجمع $180$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.6.1

اجمع $180$ مع $- 60$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 60 + 180$

خطوة 20.6.2

اطرح $60$ من $180$ .

$120$

خطوة 20.6.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = 120$

خطوة 20.7

فترة دالة $\tan (θ)$ هي $180$ ، لذا تتكرر القيم كل $180$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 120 + 180 n, 120 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 21

أوجِد قيمة $θ$ في $\tan (θ) = i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$θ = \arctan (i)$

خطوة 21.2

دالة المماس العكسية لـ $\arctan (i)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 22

أوجِد قيمة $θ$ في $\tan (θ) = - i$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$θ = \arctan (- i)$

خطوة 22.2

دالة المماس العكسية لـ $\arctan (- i)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 23

اسرِد جميع الحلول.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 24

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

ادمج $60 + 180 n$ و $240 + 180 n$ في $60 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 24.2

ادمج $120 + 180 n$ و $120 + 180 n$ في $120 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$