حساب المثلثات الأمثلة

$4 \cos (x) = - \sin^{2} (x) + 1$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $\sin^{2} (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$4 \cos (x) + \sin^{2} (x) = 1$

خطوة 1.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 2

بسّط $4 \cos (x) + \sin^{2} (x) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد ترتيب $\sin^{2} (x)$ و $- 1$ .

$4 \cos (x) - 1 + \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$4 \cos (x) - 1 (1) + \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $\sin^{2} (x)$ .

$4 \cos (x) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) - 1 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ بالصيغة $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$4 \cos (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.6

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$4 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (x)$ .

$4 u - u^{2} = 0$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $u$ من $4 u - u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أخرِج العامل $u$ من $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

خطوة 3.1.2.2

أخرِج العامل $u$ من $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

خطوة 3.1.2.3

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$\cos (x) (4 - \cos (x)) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$4 - \cos (x) = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.3.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.3.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.3.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $4 - \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $4 - \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 - \cos (x) = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 - \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- \cos (x) = - 4$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم كل حد في $- \cos (x) = - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \cos (x) = - 4$ على $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.2.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$\cos (x) = 4$

خطوة 3.4.2.3

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $4$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\cos (x) (4 - \cos (x)) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$