حساب المثلثات الأمثلة

$3 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لنفترض أن $u = \cos (θ)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (θ)$ .

$3 u^{2} + u = 0$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $u$ من $3 u^{2} + u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $u$ من $3 u^{2}$ .

$u (3 u) + u = 0$

خطوة 1.2.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$u (3 u) + u = 0$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $u$ من $u^{1}$ .

$u (3 u) + u \cdot 1 = 0$

خطوة 1.2.4

أخرِج العامل $u$ من $u (3 u) + u \cdot 1$ .

$u (3 u + 1) = 0$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (3 \cos (θ) + 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$3 \cos (θ) + 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (θ) = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (0)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $90$ .

$θ = 90$

خطوة 3.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $360$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 360 - 90$

خطوة 3.2.4

اطرح $90$ من $360$ .

$θ = 270$

خطوة 3.2.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 3.2.5.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 3.2.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $3 \cos (θ) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $3 \cos (θ) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 \cos (θ) + 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $θ$ في $3 \cos (θ) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$3 \cos (θ) = - 1$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $3 \cos (θ) = - 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 \cos (θ) = - 1$ على $3$ .

$\frac{3 \cos (θ)}{3} = \frac{- 1}{3}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cos (θ)}{3} = \frac{- 1}{3}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (θ)$ على $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{3}$

خطوة 4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (θ) = - \frac{1}{3}$

خطوة 4.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (- \frac{1}{3})$

خطوة 4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{1}{3})$ .

$θ = 109.47122063$

خطوة 4.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $360$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 360 - 109.47122063$

خطوة 4.2.6

اطرح $109.47122063$ من $360$ .

$θ = 250.52877936$

خطوة 4.2.7

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 4.2.7.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 4.2.8

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 109.47122063 + 360 n, 250.52877936 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\cos (θ) (3 \cos (θ) + 1) = 0$ صحيحة.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 109.47122063 + 360 n, 250.52877936 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

ادمج $90 + 360 n$ و $270 + 360 n$ في $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 109.47122063 + 360 n, 250.52877936 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$