حساب المثلثات الأمثلة

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) = 12 \tan (θ)$

خطوة 1

اطرح $12 \tan (θ)$ من كلا المتعادلين.

$9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ) = 0$

خطوة 2

أخرِج العامل $3 \tan (θ)$ من $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ) - 12 \tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $3 \tan (θ)$ من $9 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ .

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) - 12 \tan (θ) = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $3 \tan (θ)$ من $- 12 \tan (θ)$ .

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4 = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $3 \tan (θ)$ من $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ)) + 3 \tan (θ) \cdot - 4$ .

$3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\tan (θ) = 0$

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\tan (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\tan (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\tan (θ) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\tan (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل المماس.

$θ = \arctan (0)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$θ = 0$

خطوة 4.2.3

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 180 + 0$

خطوة 4.2.4

أضف $180$ و $0$ .

$θ = 180$

خطوة 4.2.5

أوجِد فترة $\tan (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

خطوة 4.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{180}{| 1 |}$

خطوة 4.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{180}{1}$

خطوة 4.2.5.4

اقسِم $180$ على $1$ .

$180$

خطوة 4.2.6

فترة دالة $\tan (θ)$ هي $180$ ، لذا تتكرر القيم كل $180$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 180 n, 180 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $3 \sec^{2} (θ) - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $3 \sec^{2} (θ) - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $θ$ في $3 \sec^{2} (θ) - 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$3 \sec^{2} (θ) = 4$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $3 \sec^{2} (θ) = 4$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 \sec^{2} (θ) = 4$ على $3$ .

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \sec^{2} (θ)}{3} = \frac{4}{3}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $\sec^{2} (θ)$ على $1$ .

$\sec^{2} (θ) = \frac{4}{3}$

خطوة 5.2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sec (θ) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

خطوة 5.2.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{4}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.2.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.2.4.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.2.4.3

اضرب $\frac{2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.2.4.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.4.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 5.2.4.4.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 5.2.4.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 5.2.4.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.2.4.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 5.2.4.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.2.4.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.2.4.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.2.4.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.2.4.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 5.2.4.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sec (θ) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.2.6

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.2.7

أوجِد قيمة $θ$ في $\sec (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

خُذ دالة القاطع العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل القاطع.

$θ = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

خطوة 5.2.7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ هي $30$ .

$θ = 30$

خطوة 5.2.7.3

دالة القاطع موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $360$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 360 - 30$

خطوة 5.2.7.4

اطرح $30$ من $360$ .

$θ = 330$

خطوة 5.2.7.5

أوجِد فترة $\sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 5.2.7.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 5.2.7.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 5.2.7.5.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 5.2.7.6

فترة دالة $\sec (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2.8

أوجِد قيمة $θ$ في $\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

خُذ دالة القاطع العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل القاطع.

$θ = arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

خطوة 5.2.8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ هي $150$ .

$θ = 150$

خطوة 5.2.8.3

دالة القاطع سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $360$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 360 - 150$

خطوة 5.2.8.4

اطرح $150$ من $360$ .

$θ = 210$

خطوة 5.2.8.5

أوجِد فترة $\sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 5.2.8.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 5.2.8.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 5.2.8.5.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 5.2.8.6

فترة دالة $\sec (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 150 + 360 n, 210 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2.9

اسرِد جميع الحلول.

$θ = 30 + 360 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n, 210 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2.10

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

ادمج $30 + 360 n$ و $210 + 360 n$ في $30 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 330 + 360 n, 150 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5.2.10.2

ادمج $330 + 360 n$ و $150 + 360 n$ في $150 + 180 n$ .

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 \tan (θ) (3 \sec^{2} (θ) - 4) = 0$ صحيحة.

$θ = 180 n, 180 + 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

ادمج $180 n$ و $180 + 180 n$ في $180 n$ .

$θ = 180 n, 30 + 180 n, 150 + 180 n$ ، لأي عدد صحيح $n$