حساب المثلثات الأمثلة

$2 \cos^{2} (θ) - \cos (θ) = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لنفترض أن $u = \cos (θ)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (θ)$ .

$2 u^{2} - u = 0$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $u$ من $2 u^{2} - u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $u$ من $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $u$ من $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $u$ من $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (θ) = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (0)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $90$ .

$θ = 90$

خطوة 3.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $360$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 360 - 90$

خطوة 3.2.4

اطرح $90$ من $360$ .

$θ = 270$

خطوة 3.2.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 3.2.5.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 3.2.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $2 \cos (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $θ$ في $2 \cos (θ) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \cos (θ) = 1$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (θ) = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (θ) = 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (θ)$ على $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $60$ .

$θ = 60$

خطوة 4.2.5

$θ = 360 - 60$

خطوة 4.2.6

اطرح $60$ من $360$ .

$θ = 300$

خطوة 4.2.7

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

خطوة 4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{360}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{360}{1}$

خطوة 4.2.7.4

اقسِم $360$ على $1$ .

$360$

خطوة 4.2.8

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $360$ ، لذا تتكرر القيم كل $360$ من الدرجات في كلا الاتجاهين.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) = 0$ صحيحة.

$θ = 90 + 360 n, 270 + 360 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

ادمج $90 + 360 n$ و $270 + 360 n$ في $90 + 180 n$ .

$θ = 90 + 180 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ ، لأي عدد صحيح $n$