حساب المثلثات الأمثلة

$4 \sin (x) = - \cos^{2} (x) + 1$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $\cos^{2} (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$4 \sin (x) + \cos^{2} (x) = 1$

خطوة 1.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$4 \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 2

بسّط $4 \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد ترتيب $\cos^{2} (x)$ و $- 1$ .

$4 \sin (x) - 1 + \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$4 \sin (x) - 1 (1) + \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sin (x) - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) - 1 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ بالصيغة $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.6

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$4 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\sin (x)$ .

$4 u - u^{2} = 0$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $u$ من $4 u - u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أخرِج العامل $u$ من $4 u$ .

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

خطوة 3.1.2.2

أخرِج العامل $u$ من $- u^{2}$ .

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

خطوة 3.1.2.3

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot 4 + u (- u)$ .

$u (4 - u) = 0$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\sin (x) (4 - \sin (x)) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 - \sin (x) = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.3.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 3.3.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 3.3.2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.3.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.3.2.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $4 - \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $4 - \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 - \sin (x) = 0$

خطوة 3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 - \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- \sin (x) = - 4$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = - 4$ على $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.2.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$\sin (x) = 4$

خطوة 3.4.2.3

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $4$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\sin (x) (4 - \sin (x)) = 0$ صحيحة.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

وحّد الإجابات.

$x = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$