حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (105 °)$

خطوة 1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن المماس سالب في الربع الثاني.

$- \tan (75)$

خطوة 2

قسّم $75$ إلى زاويتين تُعرف بهما قيم الدوال المثلثية الست.

$- \tan (30 + 45)$

خطوة 3

طبّق متطابقة مجموع الزوايا.

$- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

خطوة 4

القيمة الدقيقة لـ $\tan (30)$ هي $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

خطوة 5

القيمة الدقيقة لـ $\tan (45)$ هي $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

خطوة 6

القيمة الدقيقة لـ $\tan (30)$ هي $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

خطوة 7

القيمة الدقيقة لـ $\tan (45)$ هي $1$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

خطوة 8

بسّط $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب بسط الكسر وقاسمه في $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})$

خطوة 8.1.2

اجمع.

$- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

خطوة 8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

خطوة 8.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

خطوة 8.4

اضرب $3$ في $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

خطوة 8.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

اضرب $3$ في $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

خطوة 8.5.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

خطوة 8.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

خطوة 8.5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

خطوة 8.5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

خطوة 8.6

اضرب $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ في $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

خطوة 8.7

اضرب $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ في $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

خطوة 8.8

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 8.9

بسّط.

$- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

خطوة 8.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.10.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

خطوة 8.10.2

ارفع $3 + \sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

خطوة 8.10.3

ارفع $3 + \sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

خطوة 8.10.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

خطوة 8.10.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

خطوة 8.11

أعِد كتابة ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ بالصيغة $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

خطوة 8.12

وسّع $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

خطوة 8.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

خطوة 8.12.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

خطوة 8.13

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.13.1.1

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

خطوة 8.13.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

خطوة 8.13.1.3

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

خطوة 8.13.1.4

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

خطوة 8.13.1.5

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

خطوة 8.13.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

خطوة 8.13.2

أضف $9$ و $3$ .

$- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

خطوة 8.13.3

أضف $3 \sqrt{3}$ و $3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

خطوة 8.14

احذِف العامل المشترك لـ $12 + 6 \sqrt{3}$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.14.1

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

خطوة 8.14.2

أخرِج العامل $6$ من $6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

خطوة 8.14.3

أخرِج العامل $6$ من $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

خطوة 8.14.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.14.4.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

خطوة 8.14.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

خطوة 8.14.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

خطوة 8.14.4.4

اقسِم $2 + \sqrt{3}$ على $1$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

خطوة 8.15

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

خطوة 8.16

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- 2 - \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$- 3.73205080 \dots$