حساب المثلثات الأمثلة

$4 \sin^{2} (x) = 5 + 4 \cos (x)$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$4 \sin^{2} (x) - 5 = 4 \cos (x)$

خطوة 1.2

اطرح $4 \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$4 \sin^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

خطوة 2

استبدِل $4 \sin^{2} (x)$ بـ $4 (1 - \cos^{2} (x))$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

خطوة 3.2

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

خطوة 4

اطرح $5$ من $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 1 - 4 \cos (x) = 0$

خطوة 5

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$- 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة $\cos (x)$ التي تساوي $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

خطوة 7

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

خطوة 7.1.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

خطوة 7.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 u^{2}) - (4 u)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

خطوة 7.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

خطوة 7.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $4 u^{2}$ بالصيغة ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

خطوة 7.2.3

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

خطوة 7.2.4

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 7.2.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = 2 u$ و $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ على $- 1$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 8.2.2

اقسِم ${(2 u + 1)}^{2}$ على $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

خطوة 9

عيّن قيمة $2 u + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 u + 1 = 0$

خطوة 10

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 u = - 1$

خطوة 10.2

اقسِم كل حد في $2 u = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اقسِم كل حد في $2 u = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 10.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 10.2.2.1.2

اقسِم $u$ على $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

خطوة 10.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{1}{2}$

خطوة 11

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 12

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 13

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{1}{2})$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 14

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 15

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 15.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 15.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 15.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 15.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 16

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 16.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 16.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 16.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 17

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$