ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$ , $\tan (θ) < 0$

خطوة 1

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. مجموعة الحلول لـ $θ$ تنحصر في الربع الرابع بما أنه الربع الوحيد الموجود في كلتا المجموعتين.

الحل في الربع الرابع.

خطوة 2

استخدِم تعريف جيب التمام لإيجاد أطوال الأضلاع المعروفة للمثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة. يحدد الربع علامة كل قيمة من القيم.

$\cos (θ) = \frac{مجاور}{وتر}$

خطوة 3

أوجِد الضلع المقابل لمثلث دائرة الوحدة. ونظرًا إلى أن الضلع المجاور والوتر معروفان، استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع المتبقي.

$المقابل = - \sqrt{{وتر}^{2} - {مجاور}^{2}}$

خطوة 4

استبدِل القيم المعروفة في المعادلة.

$المقابل = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط ما تحت علامة الجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد نفي $\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

خطوة 5.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

خطوة 5.4

اضرب $- 1$ في $4$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{9 - 4}$

خطوة 5.5

اطرح $4$ من $9$ .

الضلع المقابل $= - \sqrt{5}$

خطوة 6

أوجِد قيمة الجيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم تعريف الجيب لإيجاد قيمة $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

خطوة 6.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{3}$

خطوة 6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

خطوة 7

أوجد قيمة المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم تعريف الظل لإيجاد قيمة $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

خطوة 7.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{2}$

خطوة 7.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

خطوة 8

أوجِد قيمة ظل التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استخدِم تعريف ظل التمام لإيجاد قيمة $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

خطوة 8.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\cot (θ) = \frac{2}{- \sqrt{5}}$

خطوة 8.3

بسّط قيمة $\cot (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cot (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

خطوة 8.3.2

اضرب $\frac{2}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

خطوة 8.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.3.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.3.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 8.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 8.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 8.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 8.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 8.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 9

أوجِد قيمة القاطع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم تعريف القاطع لإيجاد قيمة $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

خطوة 9.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

خطوة 10

أوجِد قيمة قاطع التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استخدِم تعريف قاطع التمام لإيجاد قيمة $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

خطوة 10.2

عوّض بالقيم المعروفة.

$\csc (θ) = \frac{3}{- \sqrt{5}}$

خطوة 10.3

بسّط قيمة $\csc (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\csc (θ) = - \frac{3}{\sqrt{5}}$

خطوة 10.3.2

اضرب $\frac{3}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

خطوة 10.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.1

اضرب $\frac{3}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 10.3.3.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 10.3.3.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 10.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 10.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 10.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 10.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 10.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 10.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 10.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 10.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 11

هذا هو الحل لكل قيمة من القيم المثلثية.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$