ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 x + 12 y + 1 = 0$

خطوة 1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 x + 12 y = - 1$

خطوة 2

اقسِم كلا المتعادلين على $4$ .

$x^{2} + y^{2} - x + 3 y = - \frac{1}{4}$

خطوة 3

أكمل المربع لـ $x^{2} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

خطوة 3.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 1$ و $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 1}{2}$

خطوة 3.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{1}{2}$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

خطوة 3.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

خطوة 3.4.2.2

اطرح $\frac{1}{4}$ من $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

خطوة 3.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

خطوة 4

استبدِل $x^{2} - x$ بـ ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ في المعادلة $x^{2} + y^{2} - x + 3 y = - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + 3 y = - \frac{1}{4}$

خطوة 5

انقُل $- \frac{1}{4}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $\frac{1}{4}$ إلى كلا الطرفين.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 3 y = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

خطوة 6

أكمل المربع لـ $y^{2} + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = 3$

$c = 0$

خطوة 6.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$d = \frac{3}{2}$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

خطوة 6.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

خطوة 6.4.2.2

اطرح $\frac{9}{4}$ من $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

خطوة 7

استبدِل $y^{2} + 3 y$ بـ ${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ في المعادلة $x^{2} + y^{2} - x + 3 y = - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

خطوة 8

انقُل $- \frac{9}{4}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $\frac{9}{4}$ إلى كلا الطرفين.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$

خطوة 9

بسّط $- \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 1 + 1 + 9}{4}$

خطوة 9.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $- 1$ و $1$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{0 + 9}{4}$

خطوة 9.2.2

أضف $0$ و $9$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$

خطوة 10

هذه الصيغة هي صيغة الدائرة. استخدِم هذه الصيغة لتحديد مركز الدائرة ونصف قطرها.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

خطوة 11

طابِق القيم الموجودة في هذه الدائرة بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $r$ نصف قطر الدائرة، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$r = \frac{3}{2}$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{3}{2}$

خطوة 12

تم إيجاد مركز الدائرة عند $(h, k)$ .

المركز: $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

خطوة 13

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل الدائرة بيانيًا وتحليلها.

المركز: $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

نصف القطر: $\frac{3}{2}$

خطوة 14