ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{31} 300 + {(n - 1)}^{2}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة ${(n - 1)}^{2}$ بالصيغة $(n - 1) (n - 1)$ .

$300 + (n - 1) (n - 1)$

خطوة 1.1.2

وسّع $(n - 1) (n - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$300 + n (n - 1) - 1 (n - 1)$

خطوة 1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$300 + n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 (n - 1)$

خطوة 1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$300 + n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

اضرب $n$ في $n$ .

$300 + n^{2} + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.1.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $n$ .

$300 + n^{2} - 1 \cdot n - 1 n - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.1.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 n$ بالصيغة $- n$ .

$300 + n^{2} - n - 1 n - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 n$ بالصيغة $- n$ .

$300 + n^{2} - n - n - 1 \cdot - 1$

خطوة 1.1.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$300 + n^{2} - n - n + 1$

خطوة 1.1.3.2

اطرح $n$ من $- n$ .

$300 + n^{2} - 2 n + 1$

خطوة 1.2

أضف $300$ و $1$ .

$n^{2} - 2 n + 301$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 n + 301$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 n + 301 = \sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 \sum_{n = 1}^{31} n + \sum_{n = 1}^{31} 301$

خطوة 3

احسِب قيمة $\sum_{n = 1}^{31} n^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$\frac{31 (31 + 1) (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أضف $31$ و $1$ .

$\frac{31 \cdot 32 (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

اضرب $31$ في $32$ .

$\frac{992 (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $2$ في $31$ .

$\frac{992 (62 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.3

أضف $62$ و $1$ .

$\frac{992 \cdot 63}{6}$

خطوة 3.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $992$ في $63$ .

$\frac{62496}{6}$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم $62496$ على $6$ .

$10416$

خطوة 4

احسِب قيمة $2 \sum_{n = 1}^{31} n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(- 2) (\frac{31 (31 + 1)}{2})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف $31$ و $1$ .

$- 2 \frac{31 \cdot 32}{2}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $31$ في $32$ .

$- 2 (\frac{992}{2})$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{992}{2}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{992}{2}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 992$

خطوة 4.3.3

اضرب $- 1$ في $992$ .

$- 992$

خطوة 5

احسِب قيمة $\sum_{n = 1}^{31} 301$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(301) (31)$

خطوة 5.3

اضرب $301$ في $31$ .

$9331$

خطوة 6

أضف نتائج المجاميع.

$10416 - 992 + 9331$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اطرح $992$ من $10416$ .

$9424 + 9331$

خطوة 7.2

أضف $9424$ و $9331$ .

$18755$