ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 0}^{50} 5 {(\frac{3}{5})}^{n}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ و ${(\frac{3}{5})}^{n}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{3}{5})}^{n}$ من ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{\frac{3}{5}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم $\frac{3}{5}$ على $1$ .

$r = \frac{3}{5}$

خطوة 3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ في $5 {(\frac{3}{5})}^{n}$ .

$a = 5 {(\frac{3}{5})}^{0}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{5}$ .

$a = 5 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

خطوة 3.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 5 \frac{1}{5^{0}}$

خطوة 3.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$a = 5 \cdot 1$

خطوة 3.2.5

اضرب $5$ في $1$ .

$a = 5$

خطوة 4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$5 \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$ في $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}})$

خطوة 5.1.2

اجمع.

$5 \frac{5 (1 - {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 (1 - \frac{3}{5})}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3}{5})}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{5}$ إلى بسط الكسر.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $5$ في $1$ .

$5 \frac{5 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{5}$ .

$5 \frac{5 + 5 (- \frac{3^{51}}{5^{51}})}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3^{51}}{5^{51}}$ إلى بسط الكسر.

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5^{51}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج العامل $5$ من $5^{51}$ .

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$5 \frac{5 + \frac{- 3^{51}}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.4

ارفع $3$ إلى القوة $51$ .

$5 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.5

اضرب $- 1$ في $2153693963075560000000000$ .

$5 \frac{5 + \frac{- 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$5 \frac{5 - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.7

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ .

$5 \frac{5 \cdot \frac{5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.8

اجمع $5$ و $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ .

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.10

اضرب $5$ في $5^{50}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.1

اضرب $5$ في $5^{50}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.10.1.1

ارفع $5$ إلى القوة $1$ .

$5 \frac{\frac{5^{1} \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.10.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 \frac{\frac{5^{1 + 50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.4.10.2

أضف $1$ و $50$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

خطوة 5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $5$ في $1$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 - 3}$

خطوة 5.5.2

اطرح $3$ من $5$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{2}$

خطوة 5.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$5 (\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 5.7

اضرب $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50} \cdot 2}$

خطوة 5.8

انقُل $2$ إلى يسار $5^{50}$ .

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$

خطوة 5.9

اجمع $5$ و $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$ .

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{2 \cdot 5^{50}}$

خطوة 5.10

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

أخرِج العامل $5$ من $2 \cdot 5^{50}$ .

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

خطوة 5.10.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

خطوة 5.10.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

الصيغة العشرية:

$12.49999999 \dots$