ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 1}^{200} {(2 k - 3)}^{2}$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(2 k - 3)}^{2}$ بالصيغة $(2 k - 3) (2 k - 3)$ .

$(2 k - 3) (2 k - 3)$

خطوة 1.2

وسّع $(2 k - 3) (2 k - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3)$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3)$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $k$ في $k$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.1

انقُل $k$ .

$2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

خطوة 1.3.1.2.2

اضرب $k$ في $k$ .

$2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

خطوة 1.3.1.4

اضرب $- 3$ في $2$ .

$4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

خطوة 1.3.1.5

اضرب $2$ في $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3$

خطوة 1.3.1.6

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9$

خطوة 1.3.2

اطرح $6 k$ من $- 6 k$ .

$4 k^{2} - 12 k + 9$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9 = 4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2} - 12 \sum_{k = 1}^{200} k + \sum_{k = 1}^{200} 9$

خطوة 3

احسِب قيمة $4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(4) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أضف $200$ و $1$ .

$4 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

اضرب $200$ في $201$ .

$4 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $2$ في $200$ .

$4 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.3

أضف $400$ و $1$ .

$4 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

خطوة 3.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $40200$ في $401$ .

$4 (\frac{16120200}{6})$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (2) \frac{16120200}{6}$

خطوة 3.3.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{16120200}{3})$

خطوة 3.3.2.3

اجمع $2$ و $\frac{16120200}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16120200}{3}$

خطوة 3.3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

اضرب $2$ في $16120200$ .

$\frac{32240400}{3}$

خطوة 3.3.2.4.2

اقسِم $32240400$ على $3$ .

$10746800$

خطوة 4

احسِب قيمة $12 \sum_{k = 1}^{200} k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(- 12) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف $200$ و $1$ .

$- 12 \frac{200 \cdot 201}{2}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $200$ في $201$ .

$- 12 (\frac{40200}{2})$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 12$ .

$2 (- 6) \frac{40200}{2}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 6 \frac{40200}{2}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 6 \cdot 40200$

خطوة 4.3.3

اضرب $- 6$ في $40200$ .

$- 241200$

خطوة 5

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{200} 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(9) (200)$

خطوة 5.3

اضرب $9$ في $200$ .

$1800$

خطوة 6

أضف نتائج المجاميع.

$10746800 - 241200 + 1800$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اطرح $241200$ من $10746800$ .

$10505600 + 1800$

خطوة 7.2

أضف $10505600$ و $1800$ .

$10507400$