ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - 16}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الأُس $4$ من ${(2 - x)}^{4}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيمة حد $16$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.2.1.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6.2.1.3

اضرب $- 1$ في $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6.2.2

اطرح $16$ من $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(2 - x)}^{4} - 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 2 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.7

اطرح $1$ من $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.8

اضرب $- 1$ في $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.5

أضف $- 4 {(2 - x)}^{3}$ و $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{1}$

خطوة 1.4

اقسِم $- 4 {(2 - x)}^{3}$ على $1$ .

$lim_{x \to 0} - 4 {(2 - x)}^{3}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل الحد $- 4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- 4 lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{3}$

خطوة 2.2

انقُل الأُس $3$ من ${(2 - x)}^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{3}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$- 4 {(2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

خطوة 2.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- 4 {(2 + 0)}^{3}$

خطوة 2.5.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $2$ و $0$ .

$- 4 \cdot 2^{3}$

خطوة 2.5.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- 4 \cdot 8$

خطوة 2.5.2.3

اضرب $- 4$ في $8$ .

$- 32$