ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{a^{2} - b^{2}})$

خطوة 1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = a$ و $b = b$ .

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

خطوة 2

لكتابة $\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ .

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

خطوة 3

لكتابة $- \frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ .

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

خطوة 4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(a^{2} + b^{2}) (a + b) (a - b)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ في $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ .

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ في $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ .

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب عوامل $(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))$ .

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(a + b i) \frac{a ((a + b) (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

وسّع $(a + b) (a - b)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(a + b i) \frac{a (a (a - b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $a (- b)$ و $b a$ .

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a - a b + a b + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.2.2

أضف $- a b$ و $a b$ .

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + 0 + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.2.3

أضف $a \cdot a$ و $0$ .

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $a$ في $a$ .

$(a + b i) \frac{a (a^{2} + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b \cdot b) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.3.3

اضرب $b$ في $b$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

انقُل $b$ .

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - (b \cdot b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.3.3.2

اضرب $b$ في $b$ .

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(a + b i) \frac{a \cdot a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.5

اضرب $a$ في $a^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $a$ في $a^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

ارفع $a$ إلى القوة $1$ .

$(a + b i) \frac{a^{1} a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(a + b i) \frac{a^{1 + 2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.5.2

أضف $1$ و $2$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.7

طبّق خاصية التوزيع.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b i b^{2}}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.8

اضرب $b$ في $b^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

انقُل $b^{2}$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.8.2

اضرب $b^{2}$ في $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.2.1

ارفع $b$ إلى القوة $1$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b^{1}) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{2 + 1} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 6.8.3

أضف $2$ و $1$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

خطوة 7

اضرب $a + b i$ في $\frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$ .

$\frac{(a + b i) (a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i)}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$