ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} < \frac{13}{4 - x^{2}}$

خطوة 1

اطرح $\frac{13}{4 - x^{2}}$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}} < 0$

خطوة 2

بسّط $\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{2^{2} - x^{2}} < 0$

خطوة 2.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2$ و $b = x$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.2

لكتابة $\frac{2}{x + 2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.3

لكتابة $\frac{x}{2 - x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + 2) (2 - x)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب $\frac{2}{x + 2}$ في $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.4.2

اضرب $\frac{x}{2 - x}$ في $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(2 - x) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 (2 - x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.6.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{4 - 2 x + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 - 2 x + x \cdot x + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.6.5

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.6.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + 2 \cdot x}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.6.7

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$\frac{4 + x^{2} + 0}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.6.8

أضف $4 + x^{2}$ و $0$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(x + 2) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.8

أعِد ترتيب عوامل $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

خطوة 2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 + x^{2} - 13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

خطوة 2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

اطرح $13$ من $4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

خطوة 2.10.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

خطوة 2.10.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 4

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 5

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 6

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 2$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 7.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x = 2$

خطوة 8

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 9

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = - 3$

$x = 3$

$x = 2$

$x = - 2$

خطوة 10

وحّد الحلول.

$x = - 3, 3, 2, - 2$

خطوة 11

أوجِد نطاق $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$(2 - x) (x + 2) = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 11.2.2

عيّن قيمة العبارة $2 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

عيّن قيمة $2 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 - x = 0$

خطوة 11.2.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 2$

خطوة 11.2.2.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 11.2.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 11.2.2.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 11.2.2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x = 2$

خطوة 11.2.3

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 11.2.3.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 11.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 - x) (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 2, - 2$

خطوة 11.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 12

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

خطوة 13

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 13.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{2}{(- 6) + 2} + \frac{- 6}{2 - (- 6)} < \frac{13}{4 - {(- 6)}^{2}}$

خطوة 13.1.3

الطرف الأيسر $- 1.25$ أصغر من الطرف الأيمن $- 0.40625$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 13.2

اختبر قيمة في الفترة $- 3 < x < - 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 3 < x < - 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2.5$

خطوة 13.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 2.5$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{2}{(- 2.5) + 2} + \frac{- 2.5}{2 - (- 2.5)} < \frac{13}{4 - {(- 2.5)}^{2}}$

خطوة 13.2.3

الطرف الأيسر $- 4.\overline{5}$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 5.\overline{7}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 13.3

اختبر قيمة في الفترة $- 2 < x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اختر قيمة من الفترة $- 2 < x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 13.3.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{2}{(0) + 2} + \frac{0}{2 - (0)} < \frac{13}{4 - {(0)}^{2}}$

خطوة 13.3.3

الطرف الأيسر $1$ أصغر من الطرف الأيمن $3.25$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 13.4

اختبر قيمة في الفترة $2 < x < 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اختر قيمة من الفترة $2 < x < 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2.5$

خطوة 13.4.2

استبدِل $x$ بـ $2.5$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{2}{(2.5) + 2} + \frac{2.5}{2 - (2.5)} < \frac{13}{4 - {(2.5)}^{2}}$

خطوة 13.4.3

الطرف الأيسر $- 4.\overline{5}$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 5.\overline{7}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 13.5

اختبر قيمة في الفترة $x > 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

اختر قيمة من الفترة $x > 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 13.5.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{2}{(6) + 2} + \frac{6}{2 - (6)} < \frac{13}{4 - {(6)}^{2}}$

خطوة 13.5.3

الطرف الأيسر $- 1.25$ أصغر من الطرف الأيمن $- 0.40625$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 13.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 3$ صحيحة

$- 3 < x < - 2$ خطأ

$- 2 < x < 2$ صحيحة

$2 < x < 3$ خطأ

$x > 3$ صحيحة

$x < - 3$ صحيحة

$- 3 < x < - 2$ خطأ

$- 2 < x < 2$ صحيحة

$2 < x < 3$ خطأ

$x > 3$ صحيحة

خطوة 14

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - 3$ أو $- 2 < x < 2$ أو $x > 3$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$x < - 3 or - 2 < x < 2 or x > 3$

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 3) \cup (- 2, 2) \cup (3, \infty)$

خطوة 16