ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} - 14 x^{2} + 47 x - 18 = 0$

خطوة 1

حلّل $x^{3} - 14 x^{2} + 47 x - 18$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

خطوة 1.3

عوّض بـ $9$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $9$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $9$ في متعدد الحدود.

$9^{3} - 14 \cdot 9^{2} + 47 \cdot 9 - 18$

خطوة 1.3.2

ارفع $9$ إلى القوة $3$ .

$729 - 14 \cdot 9^{2} + 47 \cdot 9 - 18$

خطوة 1.3.3

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$729 - 14 \cdot 81 + 47 \cdot 9 - 18$

خطوة 1.3.4

اضرب $- 14$ في $81$ .

$729 - 1134 + 47 \cdot 9 - 18$

خطوة 1.3.5

اطرح $1134$ من $729$ .

$- 405 + 47 \cdot 9 - 18$

خطوة 1.3.6

اضرب $47$ في $9$ .

$- 405 + 423 - 18$

خطوة 1.3.7

أضف $- 405$ و $423$ .

$18 - 18$

خطوة 1.3.8

اطرح $18$ من $18$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $9$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 9$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 14 x^{2} + 47 x - 18}{x - 9}$

خطوة 1.5

اقسِم $x^{3} - 14 x^{2} + 47 x - 18$ على $x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$9$

$x^{3}$

$14 x^{2}$

$47 x$

$18$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$9 x^{2}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - 9 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$47 x$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 5 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$47 x$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$45 x$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 5 x^{2} + 45 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$45 x$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$2 x$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$2 x$	-	$18$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$2 x$	-	$18$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$2 x$	-	$18$
							+	$2 x$	-	$18$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x - 18$

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$2 x$	-	$18$
							-	$2 x$	+	$18$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$14 x^{2}$	+	$47 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$2 x$	-	$18$
							-	$2 x$	+	$18$
										$0$

خطوة 1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 5 x + 2$

خطوة 1.6

اكتب $x^{3} - 14 x^{2} + 47 x - 18$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 9) (x^{2} - 5 x + 2) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 9 = 0$

$x^{2} - 5 x + 2 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 9 = 0$

خطوة 3.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 9$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 5 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x^{2} - 5 x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 5 x + 2 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 5$ و $c = 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.3

اطرح $8$ من $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 9) (x^{2} - 5 x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 9, \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = 9, \frac{5 + \sqrt{17}}{2}, \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$

الصيغة العشرية:

$x = 9, 4.56155281 \dots, 0.43844718 \dots$