ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$t^{4} - 12 t^{2} + 27$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(3)}^{4} - 12 {(3)}^{2} + 27$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $t = 3$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$81 - 12 {(3)}^{2} + 27$

خطوة 4.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$81 - 12 \cdot 9 + 27$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 12$ في $9$ .

$81 - 108 + 27$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $108$ من $81$ .

$- 27 + 27$

خطوة 4.2.2

أضف $- 27$ و $27$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $3$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $t - 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{t^{4} - 12 t^{2} + 27}{t - 3}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(3)$ وضَع نتيجة $(3)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$	$3$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(3)$ في المقسوم عليه $(3)$ وضَع نتيجة $(9)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 12)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$- 3$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 3)$ في المقسوم عليه $(3)$ وضَع نتيجة $(- 9)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 9)$ في المقسوم عليه $(3)$ وضَع نتيجة $(- 27)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(27)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 t^{3} + 3 t^{2} + (- 3) t - 9$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 9$

خطوة 7

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(t - 3) (t^{3} + 3 t^{2}) - 3 t - 9$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(t - 3) + t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

$(t - 3) t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

خطوة 8

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $t + 3$ .

$(t - 3) (t + 3) (t^{2} - 3)$

خطوة 9

عوّض بـ $u = t^{2}$ في المعادلة. سيسهّل ذلك استخدام الصيغة التربيعية.

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

$u = t^{2}$

خطوة 10

حلّل $u^{2} - 12 u + 27$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $27$ ومجموعهما $- 12$ .

$- 9, - 3$

خطوة 10.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 9) (u - 3) = 0$

خطوة 11

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 3 = 0$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $u - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $u - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 9 = 0$

خطوة 12.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 9$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $u - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $u - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 3 = 0$

خطوة 13.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 3$

خطوة 14

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(u - 9) (u - 3) = 0$ صحيحة.

$u = 9, 3$

خطوة 15

عوّض بالقيمة الحقيقية لـ $u = t^{2}$ مرة أخرى في المعادلة المحلولة.

$t^{2} = 9$

${(t^{2})}^{1} = 3$

خطوة 16

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة الأولى.

$t^{2} = 9$

خطوة 17

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{9}$

خطوة 17.2

بسّط $\pm \sqrt{9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{3^{2}}$

خطوة 17.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$t = \pm 3$

خطوة 17.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$t = 3$

خطوة 17.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$t = - 3$

خطوة 17.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$t = 3, - 3$

خطوة 18

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة الثانية.

${(t^{2})}^{1} = 3$

خطوة 19

أوجِد قيمة $t$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

احذِف الأقواس.

$t^{2} = 3$

خطوة 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{3}$

خطوة 19.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$t = \sqrt{3}$

خطوة 19.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$t = - \sqrt{3}$

خطوة 19.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$t = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 20

حل $t^{4} - 12 t^{2} + 27 = 0$ هو $t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

خطوة 21

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$t = 3, - 3, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

خطوة 22