ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{4 x^{2} - 9}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $4 x^{2}$ بالصيغة ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x)}^{2} - 9}$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x)}^{2} - 3^{2}}$

خطوة 1.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2 x$ و $b = 3$ .

$\frac{1}{(2 x + 3) (2 x - 3)}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{2 x + 3}$

خطوة 1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B}{2 x - 3}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{1 (2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (2 x - 3)}{2 x - 3} = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

خطوة 1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{(A) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x + 3} + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

خطوة 1.7.1.2

اقسِم $(A) (2 x - 3)$ على $1$ .

$1 = (A) (2 x - 3) + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

خطوة 1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A (2 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

خطوة 1.7.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 = 2 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

خطوة 1.7.4

انقُل $- 3$ إلى يسار $A$ .

$1 = 2 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

خطوة 1.7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = 2 A x - 3 A + \frac{(B) (2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x - 3}$

خطوة 1.7.5.2

اقسِم $(B) (2 x + 3)$ على $1$ .

$1 = 2 A x - 3 A + (B) (2 x + 3)$

خطوة 1.7.6

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = 2 A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot 3$

خطوة 1.7.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 = 2 A x - 3 A + 2 B x + B \cdot 3$

خطوة 1.7.8

انقُل $3$ إلى يسار $B$ .

$1 = 2 A x - 3 A + 2 B x + 3 B$

خطوة 1.8

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

انقُل $A$ .

$1 = 2 x A - 3 A + 2 B x + 3 B$

خطوة 1.8.2

انقُل $B$ .

$1 = 2 x A - 3 A + 2 x B + 3 B$

خطوة 1.8.3

انقُل $- 3 A$ .

$1 = 2 x A + 2 x B - 3 A + 3 B$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = 2 A + 2 B$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = - 3 A + 3 B$

خطوة 2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$0 = 2 A + 2 B$

$1 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد قيمة $A$ في $0 = 2 A + 2 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 A + 2 B = 0$ .

$2 A + 2 B = 0$

$1 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3.1.2

اطرح $2 B$ من كلا المتعادلين.

$2 A = - 2 B$

$1 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3.1.3

اقسِم كل حد في $2 A = - 2 B$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

اقسِم كل حد في $2 A = - 2 B$ على $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3.1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 A}{2} = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3.1.3.2.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$A = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = \frac{- 2 B}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3.1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 B$ .

$A = \frac{2 (- B)}{2}$

$1 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3.1.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A = \frac{2 (- B)}{2 (1)}$

$1 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3.1.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A = \frac{2 (- B)}{2 \cdot 1}$

$1 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3.1.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A = \frac{- B}{1}$

$1 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3.1.3.3.1.2.4

اقسِم $- B$ على $1$ .

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 3 B$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = - 3 A + 3 B$ بـ $- B$ .

$1 = - 3 (- B) + 3 B$

$A = - B$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $- 3 (- B) + 3 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$1 = 3 B + 3 B$

$A = - B$

خطوة 3.2.2.1.2

أضف $3 B$ و $3 B$ .

$1 = 6 B$

$A = - B$

$1 = 6 B$

$A = - B$

$1 = 6 B$

$A = - B$

$1 = 6 B$

$A = - B$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $B$ في $1 = 6 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $6 B = 1$ .

$6 B = 1$

$A = - B$

خطوة 3.3.2

اقسِم كل حد في $6 B = 1$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اقسِم كل حد في $6 B = 1$ على $6$ .

$\frac{6 B}{6} = \frac{1}{6}$

$A = - B$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 B}{6} = \frac{1}{6}$

$A = - B$

خطوة 3.3.2.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

خطوة 3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $\frac{1}{6}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = - B$ بـ $\frac{1}{6}$ .

$A = - (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $\frac{1}{6}$ .

$A = - \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

خطوة 3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = - \frac{1}{6}, B = \frac{1}{6}$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{2 x + 3} + \frac{B}{2 x - 3}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{2 x + 3} + \frac{\frac{1}{6}}{2 x - 3}$