ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \tan (2 x)}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.1.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.1.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.1.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1 - \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.2.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (2 \cdot 0)}$

خطوة 1.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (0)}$

خطوة 1.1.3.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

خطوة 1.1.3.5.3

اضرب $0$ في $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.5.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4.5

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.4.7

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.5

أضف $0$ و $2 \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.7.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.10

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.11

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \cdot 1}$

خطوة 1.3.13

اضرب $\tan (2 x)$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x)}$

خطوة 1.3.14

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

خطوة 2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$2 \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$2 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

خطوة 3.1.2.1.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

خطوة 3.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

خطوة 3.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

خطوة 3.1.2.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

خطوة 3.1.3.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

خطوة 3.1.3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

خطوة 3.1.3.4

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (2 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

خطوة 3.1.3.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

خطوة 3.1.3.6

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

خطوة 3.1.3.7

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

خطوة 3.1.3.8

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.1.3.9

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.9.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.1.3.9.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.1.3.9.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 \cdot 0)}$

خطوة 3.1.3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.10.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 \cdot 0)}$

خطوة 3.1.3.10.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (2 \cdot 0)}$

خطوة 3.1.3.10.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot 1^{2} + \tan (2 \cdot 0)}$

خطوة 3.1.3.10.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 \frac{0}{0 \cdot 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

خطوة 3.1.3.10.1.5

اضرب $0$ في $1$ .

$2 \frac{0}{0 + \tan (2 \cdot 0)}$

خطوة 3.1.3.10.1.6

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \frac{0}{0 + \tan (0)}$

خطوة 3.1.3.10.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$2 \frac{0}{0 + 0}$

خطوة 3.1.3.10.2

أضف $0$ و $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.1.3.10.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$2 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.1.3.11

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$2 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$2 (\frac{0}{0})$

خطوة 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x \sec^{2} (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (2 x)]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sec^{2} (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sec (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sec (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sec (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.4.2

مشتق $\sec (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.8

اضرب $2$ في $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.9

انقُل $2$ إلى يسار $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \cdot 2 \cdot \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.10

اضرب $2$ في $2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.11

ارفع $\sec (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{1} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.12

ارفع $\sec (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.14

أضف $1$ و $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.8.15

اضرب $\sec^{2} (2 x)$ في $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

خطوة 3.3.9

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.9.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.9.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $2 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.3.9.1.2

مشتق $\tan (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $\sec^{2} (u_{3})$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.3.9.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $2 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 3.3.9.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.9.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

خطوة 3.3.9.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

خطوة 3.3.9.5

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{2} (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.10.2.1

اضرب $4$ في $2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.2.2

أضف $2 \sec^{2} (2 x)$ و $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.10.3.1

أعِد كتابة $\sec (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.3.4

اضرب $8 x \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.10.3.4.1

اجمع $8$ و $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{x \frac{8}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.3.4.2

اجمع $x$ و $\frac{8}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{x \cdot 8}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.3.5

انقُل $8$ إلى يسار $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 \cdot x}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.3.6

أعِد كتابة $\tan (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.3.7

اجمع.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.3.8

اضرب $\cos^{2} (2 x)$ في $\cos (2 x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.10.3.8.1

اضرب $\cos^{2} (2 x)$ في $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.10.3.8.1.1

ارفع $\cos (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.3.8.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.3.8.2

أضف $2$ و $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

خطوة 3.3.10.3.9

أعِد كتابة $\sec (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2}}$

خطوة 3.3.10.3.10

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 3.3.10.3.11

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 3.3.10.3.12

اجمع $4$ و $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4}{\cos^{2} (2 x)}}$

خطوة 3.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لكتابة $\frac{4}{\cos^{2} (2 x)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}}$

خطوة 3.4.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $\cos^{3} (2 x)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $\frac{4}{\cos^{2} (2 x)}$ في $\frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)}}$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $\cos^{2} (2 x)$ في $\cos (2 x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

اضرب $\cos^{2} (2 x)$ في $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1.1

ارفع $\cos (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)}}$

خطوة 3.4.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}}}$

خطوة 3.4.2.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 8 x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.7

انقُل الحد $8$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.8

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.9

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.10

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.11

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.12

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.13

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

خطوة 4.14

انقُل الأُس $3$ من $\cos^{3} (2 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{3}}}$

خطوة 4.15

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

خطوة 4.16

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

خطوة 5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

خطوة 5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

خطوة 5.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

خطوة 5.5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 2$ .

$2 (2) \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل $2$ من $\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}$ .

$2 (2) \frac{\cos (2 \cdot 0)}{2 \frac{4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 6.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{2 \frac{4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 6.3

اضرب $4$ في $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 6.4

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 6.5

اضرب $0$ في $\sin (0)$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 6.6

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 6.7

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}$

خطوة 6.8

اجمع $2$ و $\frac{\cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}$ .

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}$

خطوة 6.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{0 + 2 \cdot 1}{\cos^{3} (0)}}$

خطوة 6.9.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{0 + 2}{\cos^{3} (0)}}$

خطوة 6.9.3

أضف $0$ و $2$ .

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{2}{\cos^{3} (0)}}$

خطوة 6.10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.10.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{2}{1^{3}}}$

خطوة 6.10.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{2}{1}}$

خطوة 6.11

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{\frac{2}{1}}$

خطوة 6.12

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2}$

خطوة 6.13

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2}{2}$

خطوة 6.14

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.14.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2}$

خطوة 6.14.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$