ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{9} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = - 2$

$h = 3$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(3, - 2)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

خطوة 5.3.3

أضف $16$ و $9$ .

$\sqrt{25}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$5$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(3, 2)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(3, - 6)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h, k \pm a)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(3, 2), (3, - 6)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(3, 3)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(3, - 7)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(3, 3), (3, - 7)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

خطوة 8.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

خطوة 8.3.3

أضف $16$ و $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

خطوة 8.3.4

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

خطوة 8.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{5}{4}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{3^{2}}{5}$

خطوة 9.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{9}{5}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح إلى أعلى وإلى أسفل.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

خطوة 11.2

بسّط $\frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 2$

خطوة 11.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

خطوة 11.2.1.3

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

خطوة 11.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 2$

خطوة 11.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 2$

خطوة 11.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{4 x}{3} + 4 \cdot - 1 - 2$

خطوة 11.2.1.5

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 4 - 2$

خطوة 11.2.2

اطرح $2$ من $- 4$ .

$y = \frac{4 x}{3} - 6$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$

خطوة 12.2

بسّط $- \frac{4}{3} \cdot (x - (3)) - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 3) - 2$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

خطوة 12.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 3 - 2$

خطوة 12.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4}{3}$ إلى بسط الكسر.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot - 3 - 2$

خطوة 12.2.1.4.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 (- 1)) - 2$

خطوة 12.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 2$

خطوة 12.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 \cdot - 1 - 2$

خطوة 12.2.1.5

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 - 2$

خطوة 12.2.1.6

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 4 - 2$

خطوة 12.2.2

اطرح $2$ من $4$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + 2$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{4 x}{3} - 6, y = - \frac{4 x}{3} + 2$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(3, - 2)$

الرؤوس: $(3, 2), (3, - 6)$

البؤر: $(3, 3), (3, - 7)$

الاختلاف المركزي: $\frac{5}{4}$

المعلمة البؤرية: $\frac{9}{5}$

خطوط التقارب: $y = \frac{4 x}{3} - 6$ ، $y = - \frac{4 x}{3} + 2$

خطوة 15