ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 5$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ $3 x^{2} - 2 x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 3$

$b = - 2$

$c = - 5$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (3)}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 1}{3}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{1}{3}$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 3}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$e = - 5 - \frac{4}{4 \cdot 3}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $3$ .

$e = - 5 - \frac{4}{12}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$e = - 5 - \frac{4 (1)}{12}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = - 5 - \frac{1}{3}$

خطوة 1.1.1.4.2.2

لكتابة $- 5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 1.1.1.4.2.3

اجمع $- 5$ و $\frac{3}{3}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 1.1.1.4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e = \frac{- 5 \cdot 3 - 1}{3}$

خطوة 1.1.1.4.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.5.1

اضرب $- 5$ في $3$ .

$e = \frac{- 15 - 1}{3}$

خطوة 1.1.1.4.2.5.2

اطرح $1$ من $- 15$ .

$e = \frac{- 16}{3}$

خطوة 1.1.1.4.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = - \frac{16}{3}$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{16}{3}$ .

$3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{16}{3}$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = 3 {(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{16}{3}$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = 3$

$h = \frac{1}{3}$

$k = - \frac{16}{3}$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى.

مفتوح إلى أعلى

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

خطوة 1.5.3

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{1}{12}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = \frac{1}{3}$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = - \frac{65}{12}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

البؤرة: $(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

محور التناظر: $x = \frac{1}{3}$

الدليل: $y = - \frac{65}{12}$

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

البؤرة: $(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

محور التناظر: $x = \frac{1}{3}$

الدليل: $y = - \frac{65}{12}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 5$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot - 1 - 5$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f (- 1) = 3 - 2 \cdot - 1 - 5$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 3 + 2 - 5$

خطوة 2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أضف $3$ و $2$ .

$f (- 1) = 5 - 5$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $5$ من $5$ .

$f (- 1) = 0$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = - 1$ تساوي $0$ .

$y = 0$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 5$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 - 5$

خطوة 2.5.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$f (- 2) = 12 - 2 \cdot - 2 - 5$

خطوة 2.5.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f (- 2) = 12 + 4 - 5$

خطوة 2.5.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $12$ و $4$ .

$f (- 2) = 16 - 5$

خطوة 2.5.2.2

اطرح $5$ من $16$ .

$f (- 2) = 11$

خطوة 2.5.3

الإجابة النهائية هي $11$ .

$11$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = - 2$ تساوي $11$ .

$y = 11$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 5$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 5$

خطوة 2.8.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1 - 5$

خطوة 2.8.1.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f (1) = 3 - 2 - 5$

خطوة 2.8.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

اطرح $2$ من $3$ .

$f (1) = 1 - 5$

خطوة 2.8.2.2

اطرح $5$ من $1$ .

$f (1) = - 4$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$- 4$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = 1$ تساوي $- 4$ .

$y = - 4$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 5$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 - 5$

خطوة 2.11.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$f (2) = 12 - 2 \cdot 2 - 5$

خطوة 2.11.1.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f (2) = 12 - 4 - 5$

خطوة 2.11.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

اطرح $4$ من $12$ .

$f (2) = 8 - 5$

خطوة 2.11.2.2

اطرح $5$ من $8$ .

$f (2) = 3$

خطوة 2.11.3

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $3$ .

$y = 3$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 1 & - 4 \\ 2 & 3 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(\frac{1}{3}, - \frac{16}{3})$

البؤرة: $(\frac{1}{3}, - \frac{21}{4})$

محور التناظر: $x = \frac{1}{3}$

الدليل: $y = - \frac{65}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 11 \\ - 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & - \frac{16}{3} \\ 1 & - 4 \\ 2 & 3 \end{array}$

خطوة 4