ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

خطوة 1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - x - 6$

خطوة 2

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أكمل المربع لـ $\frac{x^{2}}{2} - x - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - 6$

خطوة 2.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.1.1.3.2.2

اقسِم $2$ على $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

خطوة 2.1.1.3.2.3

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$d = - 1$

خطوة 2.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$e = - 6 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.3

اقسِم $4$ على $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{2}$

خطوة 2.1.1.4.2.2

لكتابة $- 6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 2.1.1.4.2.3

اجمع $- 6$ و $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 2.1.1.4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e = \frac{- 6 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 2.1.1.4.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.5.1

اضرب $- 6$ في $2$ .

$e = \frac{- 12 - 1}{2}$

خطوة 2.1.1.4.2.5.2

اطرح $1$ من $- 12$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

خطوة 2.1.1.4.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = - \frac{13}{2}$

خطوة 2.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

خطوة 2.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

خطوة 2.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - \frac{13}{2}$

خطوة 2.3

بما أن قيمة $a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى.

مفتوح إلى أعلى

خطوة 2.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(1, - \frac{13}{2})$

خطوة 2.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 2.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

خطوة 2.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

خطوة 2.5.3.2

اقسِم $4$ على $2$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 2.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 2.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(1, - 6)$

خطوة 2.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 1$

خطوة 2.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 2.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = - 7$

خطوة 2.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(1, - \frac{13}{2})$

البؤرة: $(1, - 6)$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = - 7$

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(1, - \frac{13}{2})$

البؤرة: $(1, - 6)$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = - 7$

خطوة 3

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - 6$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اكتب $- (0)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} - 6$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $\frac{- (0)}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $\frac{- (0)}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} - 6$

خطوة 3.2.1.4

اكتب $- 6$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

خطوة 3.2.1.5

اضرب $\frac{- 6}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.2.1.6

اضرب $\frac{- 6}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.3.2

اضرب $- (0) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.3.2.2

اضرب $0$ في $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.3.3

اضرب $- 6$ في $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 12}{2}$

خطوة 3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 12}{2}$

خطوة 3.2.4.2

اطرح $12$ من $0$ .

$f (0) = \frac{- 12}{2}$

خطوة 3.2.4.3

اقسِم $- 12$ على $2$ .

$f (0) = - 6$

خطوة 3.2.5

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 3.3

قيمة $y$ عند $x = 0$ تساوي $- 6$ .

$y = - 6$

خطوة 3.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - (- 1) - 6$

خطوة 3.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اكتب $- (- 1)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} - 6$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $\frac{- (- 1)}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

خطوة 3.5.1.3

اضرب $\frac{- (- 1)}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} - 6$

خطوة 3.5.1.4

اكتب $- 6$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

خطوة 3.5.1.5

اضرب $\frac{- 6}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.5.1.6

اضرب $\frac{- 6}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.5.3.2

اضرب $- (- 1) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.5.3.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.5.3.3

اضرب $- 6$ في $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 12}{2}$

خطوة 3.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أضف $1$ و $2$ .

$f (- 1) = \frac{3 - 12}{2}$

خطوة 3.5.4.2

اطرح $12$ من $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 9}{2}$

خطوة 3.5.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 1) = - \frac{9}{2}$

خطوة 3.5.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

خطوة 3.6

قيمة $y$ عند $x = - 1$ تساوي $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

خطوة 3.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - (2) - 6$

خطوة 3.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

اكتب $- (2)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} - 6$

خطوة 3.8.1.2

اضرب $\frac{- (2)}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

خطوة 3.8.1.3

اضرب $\frac{- (2)}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 6$

خطوة 3.8.1.4

اكتب $- 6$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

خطوة 3.8.1.5

اضرب $\frac{- 6}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.8.1.6

اضرب $\frac{- 6}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.8.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.8.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.8.3.2

اضرب $- (2) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.8.3.2.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.8.3.3

اضرب $- 6$ في $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 12}{2}$

خطوة 3.8.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1

اطرح $4$ من $4$ .

$f (2) = \frac{0 - 12}{2}$

خطوة 3.8.4.2

اطرح $12$ من $0$ .

$f (2) = \frac{- 12}{2}$

خطوة 3.8.4.3

اقسِم $- 12$ على $2$ .

$f (2) = - 6$

خطوة 3.8.5

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 3.9

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $- 6$ .

$y = - 6$

خطوة 3.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - (4) - 6$

خطوة 3.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.1

اكتب $- (4)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} - 6$

خطوة 3.11.1.2

اضرب $\frac{- (4)}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

خطوة 3.11.1.3

اضرب $\frac{- (4)}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} - 6$

خطوة 3.11.1.4

اكتب $- 6$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

خطوة 3.11.1.5

اضرب $\frac{- 6}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.11.1.6

اضرب $\frac{- 6}{1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.11.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2} - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.11.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.11.3.2

اضرب $- (4) \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.11.3.2.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 6 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.11.3.3

اضرب $- 6$ في $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 12}{2}$

خطوة 3.11.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.1

اطرح $8$ من $16$ .

$f (4) = \frac{8 - 12}{2}$

خطوة 3.11.4.2

اطرح $12$ من $8$ .

$f (4) = \frac{- 4}{2}$

خطوة 3.11.4.3

اقسِم $- 4$ على $2$ .

$f (4) = - 2$

خطوة 3.11.5

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 3.12

قيمة $y$ عند $x = 4$ تساوي $- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 3.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

خطوة 4

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(1, - \frac{13}{2})$

البؤرة: $(1, - 6)$

محور التناظر: $x = 1$

الدليل: $y = - 7$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

خطوة 5