ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{144} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{144} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 4$

$b = 12$

$k = 2$

$h = - 1$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(- 1, 2)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(12)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{16 + {(12)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{16 + 144}$

خطوة 5.3.3

أضف $16$ و $144$ .

$\sqrt{160}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $160$ بالصيغة $4^{2} \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $16$ من $160$ .

$\sqrt{16 (10)}$

خطوة 5.3.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 10}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$4 \sqrt{10}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 1, 6)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 1, - 2)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h, k \pm a)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(- 1, 6), (- 1, - 2)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 1, 2 + 4 \sqrt{10})$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 1, 2 - 4 \sqrt{10})$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(- 1, 2 + 4 \sqrt{10}), (- 1, 2 - 4 \sqrt{10})$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(12)}^{2}}}{4}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 12^{2}}}{4}$

خطوة 8.3.1.2

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 144}}{4}$

خطوة 8.3.1.3

أضف $16$ و $144$ .

$\frac{\sqrt{160}}{4}$

خطوة 8.3.1.4

أعِد كتابة $160$ بالصيغة $4^{2} \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.1

أخرِج العامل $16$ من $160$ .

$\frac{\sqrt{16 (10)}}{4}$

خطوة 8.3.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 10}}{4}$

خطوة 8.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{4 \sqrt{10}}{4}$

خطوة 8.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \sqrt{10}}{4}$

خطوة 8.3.2.2

اقسِم $\sqrt{10}$ على $1$ .

$\sqrt{10}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{12^{2}}{4 \sqrt{10}}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$\frac{144}{4 \sqrt{10}}$

خطوة 9.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $144$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $144$ .

$\frac{4 \cdot 36}{4 \sqrt{10}}$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sqrt{10}$ .

$\frac{4 \cdot 36}{4 (\sqrt{10})}$

خطوة 9.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 36}{4 \sqrt{10}}$

خطوة 9.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{36}{\sqrt{10}}$

خطوة 9.3.3

اضرب $\frac{36}{\sqrt{10}}$ في $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{36}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

خطوة 9.3.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.1

اضرب $\frac{36}{\sqrt{10}}$ في $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

خطوة 9.3.4.2

ارفع $\sqrt{10}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

خطوة 9.3.4.3

ارفع $\sqrt{10}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

خطوة 9.3.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

خطوة 9.3.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{10}}^{2}$ بالصيغة $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{10}$ في صورة $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{36 \sqrt{10}}{10^{1}}$

خطوة 9.3.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{36 \sqrt{10}}{10}$

خطوة 9.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $36 \sqrt{10}$ .

$\frac{2 (18 \sqrt{10})}{10}$

خطوة 9.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{2 (18 \sqrt{10})}{2 (5)}$

خطوة 9.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (18 \sqrt{10})}{2 \cdot 5}$

خطوة 9.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{18 \sqrt{10}}{5}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح إلى أعلى وإلى أسفل.

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

خطوة 11.2

بسّط $\frac{1}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (x + 1) + 2$

خطوة 11.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot 1 + 2$

خطوة 11.2.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 + 2$

خطوة 11.2.1.4

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + 2$

خطوة 11.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 11.2.3

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

خطوة 11.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1 + 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 11.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

اضرب $2$ في $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1 + 6}{3}$

خطوة 11.2.5.2

أضف $1$ و $6$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{7}{3}$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

خطوة 12.2

بسّط $- \frac{1}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x + 1) + 2$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot 1 + 2$

خطوة 12.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 + 2$

خطوة 12.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 2$

خطوة 12.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 12.2.3

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

خطوة 12.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 12.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.5.1

اضرب $2$ في $3$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 6}{3}$

خطوة 12.2.5.2

أضف $- 1$ و $6$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{x}{3} + \frac{7}{3}, y = - \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(- 1, 2)$

الرؤوس: $(- 1, 6), (- 1, - 2)$

البؤر: $(- 1, 2 + 4 \sqrt{10}), (- 1, 2 - 4 \sqrt{10})$

الاختلاف المركزي: $\sqrt{10}$

المعلمة البؤرية: $\frac{18 \sqrt{10}}{5}$

خطوط التقارب: $y = \frac{x}{3} + \frac{7}{3}$ ، $y = - \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 15