ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ غير معرّفة.

$x = - 1, x = 1$

خطوة 2

بما أن $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $- 1$ من جهة اليسار و $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $- 1$ من جهة اليمين، إذن $x = - 1$ خط تقارب رأسي.

$x = - 1$

خطوة 3

بما أن $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $1$ من جهة اليسار و $\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $1$ من جهة اليمين، إذن $x = 1$ خط تقارب رأسي.

$x = 1$

خطوة 4

اسرِد جميع خطوط التقارب الرأسية:

$x = - 1, 1$

خطوة 5

ضع في اعتبارك الدالة الكسرية $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث $n$ هي درجة البسط و $m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة $n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة $n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 6

أوجِد $n$ و $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

خطوة 7

بما أن $n > m$ ، إذن لا يوجد خط تقارب أفقي.

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوة 8

أوجِد خط التقارب المائل باستخدام قسمة متعددات الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{3} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x}{x^{2} - 1}$

خطوة 8.1.1.2

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (1)}{x^{2} - 1}$

خطوة 8.1.1.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{2}) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} - 1}$

خطوة 8.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} - 1^{2}}$

خطوة 8.1.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 8.2

وسّع $2 x (x^{2} + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 8.2.2

انقُل $x$ .

$\frac{2 x \cdot x^{2} + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 8.2.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 8.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 8.2.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot (1 x)}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 8.2.6

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 8.3

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x (x - 1) + 1 (x - 1)}$

خطوة 8.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}$

خطوة 8.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

خطوة 8.3.4

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

خطوة 8.3.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

خطوة 8.3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

خطوة 8.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

خطوة 8.3.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

خطوة 8.3.9

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}$

خطوة 8.3.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1 x + x - 1}$

خطوة 8.3.11

أضف $- 1 x$ و $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} + 0 - 1}$

خطوة 8.3.12

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x}{x^{2} - 1}$

خطوة 8.4

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

خطوة 8.5

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

خطوة 8.6

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

خطوة 8.7

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{3} + 0 - 2 x$

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

خطوة 8.8

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

$4 x$

خطوة 8.9

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$2 x^{3}$

$0$

$2 x$

$4 x$

$0$

خطوة 8.10

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$2 x + \frac{4 x}{x^{2} - 1}$

خطوة 8.11

خط التقارب المائل هو جزء متعدد الحدود من ناتج القسمة المطولة.

$y = 2 x$

خطوة 9

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - 1, 1$

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوط التقارب المائلة: $y = 2 x$

خطوة 10