ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 x^{3} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 5 x^{3} + 5$ في صورة معادلة.

$y = 5 x^{3} + 5$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 5 y^{3} + 5$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $5 y^{3} + 5 = x$ .

$5 y^{3} + 5 = x$

خطوة 3.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$5 y^{3} = x - 5$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $5 y^{3} = x - 5$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $5 y^{3} = x - 5$ على $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $y^{3}$ على $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 5}{5}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم $- 5$ على $5$ .

$y^{3} = \frac{x}{5} - 1$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$

خطوة 3.5

بسّط $\sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

خطوة 3.5.2

اجمع $- 1$ و $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

خطوة 3.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 1 \cdot 5}{5}}$

خطوة 3.5.4

اضرب $- 1$ في $5$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$

خطوة 3.5.5

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{x - 5}{5}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$

خطوة 3.5.6

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

خطوة 3.5.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{\sqrt[3]{5}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

خطوة 3.5.7.2

ارفع $\sqrt[3]{5}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

خطوة 3.5.7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.5.7.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

خطوة 3.5.7.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.5.7.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.5.7.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.5.7.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.5.7.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

خطوة 3.5.7.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

خطوة 3.5.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.8.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

خطوة 3.5.8.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5} \sqrt[3]{25}}{5}$

خطوة 3.5.9

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.9.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$

خطوة 3.5.9.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{(x - 5) \cdot 25}}{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ هي معكوس $f (x) = 5 x^{3} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (5 x^{3} + 5)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 5) - 5)}}{5}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اطرح $5$ من $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

خطوة 5.2.3.2

أضف $5 x^{3}$ و $0$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

خطوة 5.2.3.3

اضرب $25$ في $5$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

خطوة 5.2.3.4

أعِد كتابة $125 x^{3}$ بالصيغة ${(5 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

خطوة 5.2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

خطوة 5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = \frac{5 x}{5}$

خطوة 5.2.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (5 x^{3} + 5) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5})}^{3} + 5$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}}{5^{3}}) + 5$

خطوة 5.3.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{25 (x - 5)}}^{3}$ بالصيغة $25 (x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{25 (x - 5)}$ في صورة ${(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 5$

خطوة 5.3.3.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 5$

خطوة 5.3.3.2.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

خطوة 5.3.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 5))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 5$

خطوة 5.3.3.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

خطوة 5.3.3.2.1.5

بسّط.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

خطوة 5.3.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

خطوة 5.3.3.2.3

اضرب $25$ في $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 125}{5^{3}}) + 5$

خطوة 5.3.3.2.4

أخرِج العامل $25$ من $25 x - 125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.4.1

أخرِج العامل $25$ من $25 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 125}{5^{3}}) + 5$

خطوة 5.3.3.2.4.2

أخرِج العامل $25$ من $- 125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 5}{5^{3}}) + 5$

خطوة 5.3.3.2.4.3

أخرِج العامل $25$ من $25 x + 25 \cdot - 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5^{3}}) + 5$

خطوة 5.3.3.3

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{125}) + 5$

خطوة 5.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

أخرِج العامل $5$ من $125$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 (25)}) + 5$

خطوة 5.3.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 5)}{5 \cdot 25}) + 5$

خطوة 5.3.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

خطوة 5.3.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = \frac{25 (x - 5)}{25} + 5$

خطوة 5.3.3.5.2

اقسِم $x - 5$ على $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x - 5 + 5$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 5 + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أضف $- 5$ و $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$ هي معكوس $f (x) = 5 x^{3} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 5)}}{5}$