ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ غير معرّفة.

$x = - 1, x = 0$

خطوة 2

بما أن $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $- 1$ من جهة اليسار و $\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $- 1$ من جهة اليمين، إذن $x = - 1$ خط تقارب رأسي.

$x = - 1$

خطوة 3

ضع في اعتبارك الدالة الكسرية $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث $n$ هي درجة البسط و $m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة $n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة $n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 4

أوجِد $n$ و $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

خطوة 5

بما أن $n > m$ ، إذن لا يوجد خط تقارب أفقي.

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوة 6

أوجِد خط التقارب المائل باستخدام قسمة متعددات الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{3} + 2 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 x) + 2 x^{2}}{x^{2} + x}$

خطوة 6.1.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2}{x^{2} + x}$

خطوة 6.1.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x^{2} + x}$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x}$

خطوة 6.1.2.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x^{1}}$

خطوة 6.1.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x \cdot x + x \cdot 1}$

خطوة 6.1.2.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x (x + 1)}$

خطوة 6.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} (3 x + 2)$ .

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

خطوة 6.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (x (3 x + 2))}{x (x + 1)}$

خطوة 6.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x (3 x + 2)}{x + 1}$

خطوة 6.2

وسّع $x (3 x + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

خطوة 6.2.2

احذِف الأقواس.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot 2}{x + 1}$

خطوة 6.2.3

أعِد ترتيب $x$ و $3$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 2}{x + 1}$

خطوة 6.2.4

أعِد ترتيب $x$ و $2$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot x}{x + 1}$

خطوة 6.2.5

اضرب $3$ في $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 2 x}{x + 1}$

خطوة 6.2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

خطوة 6.2.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 2 x}{x + 1}$

خطوة 6.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{1 + 1} + 2 x}{x + 1}$

خطوة 6.2.9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x}{x + 1}$

خطوة 6.3

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{2}$

$2 x$

$0$

خطوة 6.4

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

خطوة 6.5

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

خطوة 6.6

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 x^{2} + 3 x$

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

خطوة 6.7

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$

خطوة 6.8

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$3 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

خطوة 6.9

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$

خطوة 6.10

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

خطوة 6.11

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x - 1$

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

خطوة 6.12

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$3 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$3 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

خطوة 6.13

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$3 x - 1 + \frac{1}{x + 1}$

خطوة 6.14

قسّم الحل إلى جزء متعدد الحدود والباقي.

$3 x - 1 + \frac{x}{x^{2} + x}$

خطوة 6.15

خط التقارب المائل هو جزء متعدد الحدود من ناتج القسمة المطولة.

$y = 3 x - 1$

خطوة 7

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - 1$

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوط التقارب المائلة: $y = 3 x - 1$

خطوة 8