ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ في صورة معادلة.

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt[3]{y}}{4}$ .

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{7}}{4^{7}}$

خطوة 3.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{y}}^{7}$ بالصيغة $\sqrt[3]{y^{7}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{7}}}{4^{7}}$

خطوة 3.1.2.2

أعِد كتابة $y^{7}$ بالصيغة ${(y^{2})}^{3} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

أخرِج عامل $y^{6}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{6} y}}{4^{7}}$

خطوة 3.1.2.2.2

أعِد كتابة $y^{6}$ بالصيغة ${(y^{2})}^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{{(y^{2})}^{3} y}}{4^{7}}$

خطوة 3.1.2.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{4^{7}}$

خطوة 3.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $7$ .

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$ .

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$

خطوة 3.3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = x$

خطوة 3.4

اضرب كلا المتعادلين في $16384$ .

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

خطوة 3.5

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط $16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $16384$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

خطوة 3.5.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} y^{\frac{1}{3}} = 16384 x$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $y^{2}$ في $y^{\frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y^{2 + \frac{1}{3}} = 16384 x$

خطوة 3.5.1.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

خطوة 3.5.1.2.3

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$y^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

خطوة 3.5.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} = 16384 x$

خطوة 3.5.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.2.5.1

اضرب $2$ في $3$ .

$y^{\frac{6 + 1}{3}} = 16384 x$

خطوة 3.5.1.2.5.2

أضف $6$ و $1$ .

$y^{\frac{7}{3}} = 16384 x$

خطوة 3.6

ارفع كل متعادل إلى القوة $\frac{3}{7}$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 3.7

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

بسّط ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 3.7.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 3.7.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 3.7.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 3.7.1.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 3.7.1.1.2

بسّط.

$y = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 3.7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

بسّط ${(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $16384 x$ .

$y = 16384^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

خطوة 3.7.2.1.1.2

أعِد كتابة $16384$ بالصيغة $4^{7}$ .

$y = {(4^{7})}^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

خطوة 3.7.2.1.1.3

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

خطوة 3.7.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

خطوة 3.7.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 4^{3} x^{\frac{3}{7}}$

خطوة 3.7.2.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$y = 64 x^{\frac{3}{7}}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ هي معكوس $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$

خطوة 5.2.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

خطوة 5.2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

خطوة 5.2.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{3}$

خطوة 5.2.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt[3]{x}}{4}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{4^{3}})$

خطوة 5.2.4

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

خطوة 5.2.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

خطوة 5.2.4.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

خطوة 5.2.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

خطوة 5.2.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

خطوة 5.2.4.5

بسّط.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

خطوة 5.2.5

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

خطوة 5.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

خطوة 5.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (64 x^{\frac{3}{7}})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{64 x^{\frac{3}{7}}}}{4})}^{7}$

خطوة 5.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أعِد كتابة $64 x^{\frac{3}{7}}$ بالصيغة ${(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}}}{4})}^{7}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

خطوة 5.3.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

خطوة 5.3.4.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

اقسِم $x^{\frac{1}{7}}$ على $1$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

خطوة 5.3.4.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

خطوة 5.3.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

خطوة 5.3.4.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ هي معكوس $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ .

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$