ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

خطوة 1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ غير معرّفة.

$x = - 3, x = 3$

خطوة 2

بما أن $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $- 3$ من جهة اليسار و $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $- 3$ من جهة اليمين، إذن $x = - 3$ خط تقارب رأسي.

$x = - 3$

خطوة 3

بما أن $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $3$ من جهة اليسار و $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $3$ من جهة اليمين، إذن $x = 3$ خط تقارب رأسي.

$x = 3$

خطوة 4

اسرِد جميع خطوط التقارب الرأسية:

$x = - 3, 3$

خطوة 5

ضع في اعتبارك الدالة الكسرية $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث $n$ هي درجة البسط و $m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة $n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة $n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 6

أوجِد $n$ و $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

خطوة 7

بما أن $n > m$ ، إذن لا يوجد خط تقارب أفقي.

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوة 8

أوجِد خط التقارب المائل باستخدام قسمة متعددات الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} - 2 x^{2} - 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

خطوة 8.1.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

خطوة 8.1.1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $- 8 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 8}{3 x^{2} - 27}$

خطوة 8.1.1.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8}{3 x^{2} - 27}$

خطوة 8.1.1.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x - 8)}{3 x^{2} - 27}$

خطوة 8.1.1.2

حلّل $x^{2} - 2 x - 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 8$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 4, 2$

خطوة 8.1.1.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{x ((x - 4) (x + 2))}{3 x^{2} - 27}$

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 x^{2} - 27}$

خطوة 8.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} - 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2}) - 27}$

خطوة 8.1.2.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 27$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 9}$

خطوة 8.1.2.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} + 3 \cdot - 9$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2} - 9)}$

خطوة 8.1.2.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x^{2} - 3^{2})}$

خطوة 8.1.2.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2

وسّع $x (x - 4) (x + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot - 4) (x + 2)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x (x + 2) + x \cdot (- 4 (x + 2))}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 (x + 2))}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.5

انقُل $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot (2 x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.6

أعِد ترتيب $x$ و $2$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.7

أعِد ترتيب $x$ و $- 4$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.8

أعِد ترتيب $x$ و $- 4$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot x \cdot 2}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.9

انقُل $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.10

اضرب $2$ في $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.11

اضرب $- 4$ في $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.13

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{1 + 1} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.15

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.16

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.18

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.19

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.20

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.21

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.22

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.23

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.24

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.25

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.26

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (2 x)}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.27

اضرب $- 4$ في $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 8 x}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.2.28

اطرح $4 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x + 3) (x - 3)}$

خطوة 8.3

وسّع $3 (x + 3) (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{(3 x + 3 \cdot 3) (x - 3)}$

خطوة 8.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x - 3) + 3 \cdot (3 (x - 3))}$

خطوة 8.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 3 \cdot (3 (x - 3))}$

خطوة 8.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.3.5

انقُل $x$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x \cdot x + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 (x \cdot x) + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{1 + 1} + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.3.9

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} + 3 \cdot (- 3 x) + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.3.10

اضرب $3$ في $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 3 \cdot (3 x) + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.3.11

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x + 3 \cdot 3 \cdot - 3}$

خطوة 8.3.12

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x + 9 \cdot - 3}$

خطوة 8.3.13

اضرب $9$ في $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 9 x + 9 x - 27}$

خطوة 8.3.14

أضف $- 9 x$ و $9 x$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} + 0 - 27}$

خطوة 8.3.15

اطرح $27$ من $0$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x^{2} - 27}$

خطوة 8.4

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

خطوة 8.5

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x^{2}$ .

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

خطوة 8.6

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

خطوة 8.7

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 0 - 9 x$

						$\frac{x}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$

خطوة 8.8

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$\frac{x}{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$27$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$2 x^{2}$

$x$

خطوة 8.9

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

						$\frac{x}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

خطوة 8.10

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x^{2}$ .

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

خطوة 8.11

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$18$

خطوة 8.12

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 x^{2} + 0 + 18$

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$

خطوة 8.13

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$\frac{x}{3}$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$27$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$
									+	$x$	-	$18$

خطوة 8.14

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{x - 18}{3 x^{2} - 27}$

خطوة 8.15

خط التقارب المائل هو جزء متعدد الحدود من ناتج القسمة المطولة.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

خطوة 9

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = - 3, 3$

لا توجد خطوط تقارب أفقية

خطوط التقارب المائلة: $y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

خطوة 10