ما قبل الجبر الأمثلة

$2 x^{2} + y^{2} + 4 y = 144$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أكمل المربع لـ $y^{2} + 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

خطوة 1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

خطوة 1.1.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{2}{1}$

خطوة 1.1.3.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$d = 2$

خطوة 1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $4^{2}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.4.2.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

خطوة 1.1.4.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.1.4.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

خطوة 1.1.4.2.1.1.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

خطوة 1.1.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = 0 - 4$

خطوة 1.1.4.2.2

اطرح $4$ من $0$ .

$e = - 4$

خطوة 1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

خطوة 1.2

استبدِل $y^{2} + 4 y$ بـ ${(y + 2)}^{2} - 4$ في المعادلة $2 x^{2} + y^{2} + 4 y = 144$ .

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 144$

خطوة 1.3

انقُل $- 4$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $4$ إلى كلا الطرفين.

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 144 + 4$

خطوة 1.4

أضف $144$ و $4$ .

$2 x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 148$

خطوة 1.5

اقسِم كل حد على $148$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{2 x^{2}}{148} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{148} = \frac{148}{148}$

خطوة 1.6

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{x^{2}}{74} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{148} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 2 \sqrt{37}$

$b = \sqrt{74}$

$k = - 2$

$h = 0$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(0, - 2)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(2 \sqrt{37})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{37}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{37}}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{37}}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{37}}^{2}$ بالصيغة $37$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{37}$ في صورة $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{4 \cdot 37^{1} - {(\sqrt{74})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{4 \cdot 37 - {(\sqrt{74})}^{2}}$

خطوة 5.3.3

اضرب $4$ في $37$ .

$\sqrt{148 - {(\sqrt{74})}^{2}}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة ${\sqrt{74}}^{2}$ بالصيغة $74$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{74}$ في صورة $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{148 - {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.3.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{148 - 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.3.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.3.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.3.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{148 - 74^{1}}$

خطوة 5.3.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{148 - 1 \cdot 74}$

خطوة 5.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

اضرب $- 1$ في $74$ .

$\sqrt{148 - 74}$

خطوة 5.3.5.2

اطرح $74$ من $148$ .

$\sqrt{74}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

خطوة 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0, - 2 - (2 \sqrt{37}))$

خطوة 6.5

بسّط.

$(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

خطوة 6.6

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0, - 2 + \sqrt{74})$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0, - 2 - (\sqrt{74}))$

خطوة 7.5

بسّط.

$(0, - 2 - \sqrt{74})$

خطوة 7.6

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{37})}^{2} - {(\sqrt{74})}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{37}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{37}}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{37}}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{37}}^{2}$ بالصيغة $37$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{37}$ في صورة $37^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37^{1} - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 37 - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.4

اضرب $4$ في $37$ .

$\frac{\sqrt{148 - {\sqrt{74}}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{74}}^{2}$ بالصيغة $74$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{74}$ في صورة $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{148 - {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{148 - 74^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{148 - 74^{1}}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{148 - 1 \cdot 74}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.6

اضرب $- 1$ في $74$ .

$\frac{\sqrt{148 - 74}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.1.7

اطرح $74$ من $148$ .

$\frac{\sqrt{74}}{2 \sqrt{37}}$

خطوة 8.3.2

اجمع $\sqrt{74}$ و $\sqrt{37}$ في جذر واحد.

$\frac{\sqrt{\frac{74}{37}}}{2}$

خطوة 8.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $74$ و $37$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

أخرِج العامل $37$ من $74$ .

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37}}}{2}$

خطوة 8.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.2.1

أخرِج العامل $37$ من $37$ .

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37 (1)}}}{2}$

خطوة 8.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{\frac{37 \cdot 2}{37 \cdot 1}}}{2}$

خطوة 8.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{\frac{2}{1}}}{2}$

خطوة 8.3.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, - 2 + 2 \sqrt{37})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2 - 2 \sqrt{37})$

${Focus}_{1}$ : $(0, - 2 + \sqrt{74})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 - \sqrt{74})$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 10