ما قبل الجبر الأمثلة

$x = - 2 y^{2} - 8 y - 14$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ $- 2 y^{2} - 8 y - 14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 2$

$b = - 8$

$c = - 14$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 2}$

خطوة 1.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 2)}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 2}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 4}{- 2}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 4$ .

$d = \frac{- 2 (2)}{- 2}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{2}{1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$d = 2$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 14 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$e = - 14 - \frac{64}{4 \cdot - 2}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$e = - 14 - \frac{64}{- 8}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3

اقسِم $64$ على $- 8$ .

$e = - 14 - - 8$

خطوة 1.1.1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$e = - 14 + 8$

خطوة 1.1.1.4.2.2

أضف $- 14$ و $8$ .

$e = - 6$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 2 {(y + 2)}^{2} - 6$ .

$- 2 {(y + 2)}^{2} - 6$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة $x$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$x = - 2 {(y + 2)}^{2} - 6$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $x = a {(y - k)}^{2} + h$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - 2$

$h = - 6$

$k = - 2$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح على اليسار.

مفتوح على اليسار

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(- 6, - 2)$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

خطوة 1.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

خطوة 1.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{8}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي السيني $h$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا على اليسار أو على اليمين.

$(h + p, k)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- \frac{49}{8}, - 2)$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$y = - 2$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الرأسي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي السيني $h$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح على اليسار أو على اليمين.

$x = h - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $h$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$x = - \frac{47}{8}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح على اليسار

الرأس: $(- 6, - 2)$

البؤرة: $(- \frac{49}{8}, - 2)$

محور التناظر: $y = - 2$

الدليل: $x = - \frac{47}{8}$

الاتجاه: مفتوح على اليسار

الرأس: $(- 6, - 2)$

البؤرة: $(- \frac{49}{8}, - 2)$

محور التناظر: $y = - 2$

الدليل: $x = - \frac{47}{8}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 8$ في $f (x) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 8, - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8$ في العبارة.

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - (- 8))}}{2}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 + 8)}}{2}$

خطوة 2.1.2.1.2

أضف $- 6$ و $8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

خطوة 2.1.2.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{4}}{2}$

خطوة 2.1.2.1.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (- 8) = - \frac{4 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

خطوة 2.1.2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 8) = - \frac{4 + 2}{2}$

خطوة 2.1.2.1.6

أضف $4$ و $2$ .

$f (- 8) = - \frac{6}{2}$

خطوة 2.1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

اقسِم $6$ على $2$ .

$f (- 8) = - 1 \cdot 3$

خطوة 2.1.2.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f (- 8) = - 3$

خطوة 2.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$y = - 3$

خطوة 2.1.3

حوّل $- 3$ إلى رقم عشري.

$= - 3$

خطوة 2.2

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 8$ في $f (x) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 8, - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8$ في العبارة.

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - (- 8))}}{2}$

خطوة 2.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 + 8)}}{2}$

خطوة 2.2.2.1.2

أضف $- 6$ و $8$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

خطوة 2.2.2.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{4}}{2}$

خطوة 2.2.2.1.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

خطوة 2.2.2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 8) = - \frac{4 - 1 \cdot 2}{2}$

خطوة 2.2.2.1.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (- 8) = - \frac{4 - 2}{2}$

خطوة 2.2.2.1.7

اطرح $2$ من $4$ .

$f (- 8) = - \frac{2}{2}$

خطوة 2.2.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 8) = - \frac{2}{2}$

خطوة 2.2.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 8) = - 1 \cdot 1$

خطوة 2.2.2.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (- 8) = - 1$

خطوة 2.2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$y = - 1$

خطوة 2.2.3

حوّل $- 1$ إلى رقم عشري.

$= - 1$

خطوة 2.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 7$ في $f (x) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 7, - 2.70710678)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 7$ في العبارة.

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 - (- 7))}}{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 (- 6 + 7)}}{2}$

خطوة 2.3.2.1.2

أضف $- 6$ و $7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

خطوة 2.3.2.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$f (- 7) = - \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.2.2

الإجابة النهائية هي $- \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.3

حوّل $- \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ إلى رقم عشري.

$= - 2.70710678$

خطوة 2.4

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 7$ في $f (x) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - x)}}{2}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 7, - 1.29289321)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 7$ في العبارة.

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 - (- 7))}}{2}$

خطوة 2.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 (- 6 + 7)}}{2}$

خطوة 2.4.2.1.2

أضف $- 6$ و $7$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

خطوة 2.4.2.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$f (- 7) = - \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.4.2.2

الإجابة النهائية هي $- \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.4.3

حوّل $- \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$ إلى رقم عشري.

$= - 1.29289321$

خطوة 2.5

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & - 3 \\ - 8 & - 1 \\ - 7 & - 2.71 \\ - 7 & - 1.29 \\ - 6 & - 2 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح على اليسار

الرأس: $(- 6, - 2)$

البؤرة: $(- \frac{49}{8}, - 2)$

محور التناظر: $y = - 2$

الدليل: $x = - \frac{47}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & - 3 \\ - 8 & - 1 \\ - 7 & - 2.71 \\ - 7 & - 1.29 \\ - 6 & - 2 \end{array}$

خطوة 4