ما قبل الجبر الأمثلة

$- 3 x^{2} - 24 x + 60$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ $- 3 x^{2} - 24 x + 60$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 3$

$b = - 24$

$c = 60$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 3}$

خطوة 1.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 24$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 3}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 3)}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 3}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 12}{- 3}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل $- 3$ من $- 12$ .

$d = \frac{- 3 (4)}{- 3}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3$ .

$d = \frac{- 3 \cdot 4}{- 3 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{- 3 \cdot 4}{- 3 \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{4}{1}$

خطوة 1.1.1.3.2.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$d = 4$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 60 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 3}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

ارفع $- 24$ إلى القوة $2$ .

$e = 60 - \frac{576}{4 \cdot - 3}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 3$ .

$e = 60 - \frac{576}{- 12}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3

اقسِم $576$ على $- 12$ .

$e = 60 - - 48$

خطوة 1.1.1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 48$ .

$e = 60 + 48$

خطوة 1.1.1.4.2.2

أضف $60$ و $48$ .

$e = 108$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 3 {(x + 4)}^{2} + 108$ .

$- 3 {(x + 4)}^{2} + 108$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = - 3 {(x + 4)}^{2} + 108$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - 3$

$h = - 4$

$k = 108$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(- 4, 108)$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

خطوة 1.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اضرب $4$ في $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

خطوة 1.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{12}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 4, \frac{1295}{12})$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = - 4$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = \frac{1297}{12}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(- 4, 108)$

البؤرة: $(- 4, \frac{1295}{12})$

محور التناظر: $x = - 4$

الدليل: $y = \frac{1297}{12}$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(- 4, 108)$

البؤرة: $(- 4, \frac{1295}{12})$

محور التناظر: $x = - 4$

الدليل: $y = \frac{1297}{12}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f (- 5) = - 3 {(- 5)}^{2} - 24 \cdot - 5 + 60$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$f (- 5) = - 3 \cdot 25 - 24 \cdot - 5 + 60$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $- 3$ في $25$ .

$f (- 5) = - 75 - 24 \cdot - 5 + 60$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $- 24$ في $- 5$ .

$f (- 5) = - 75 + 120 + 60$

خطوة 2.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أضف $- 75$ و $120$ .

$f (- 5) = 45 + 60$

خطوة 2.2.2.2

أضف $45$ و $60$ .

$f (- 5) = 105$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي $105$ .

$105$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = - 5$ تساوي $105$ .

$y = 105$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f (- 6) = - 3 {(- 6)}^{2} - 24 \cdot - 6 + 60$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f (- 6) = - 3 \cdot 36 - 24 \cdot - 6 + 60$

خطوة 2.5.1.2

اضرب $- 3$ في $36$ .

$f (- 6) = - 108 - 24 \cdot - 6 + 60$

خطوة 2.5.1.3

اضرب $- 24$ في $- 6$ .

$f (- 6) = - 108 + 144 + 60$

خطوة 2.5.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $- 108$ و $144$ .

$f (- 6) = 36 + 60$

خطوة 2.5.2.2

أضف $36$ و $60$ .

$f (- 6) = 96$

خطوة 2.5.3

الإجابة النهائية هي $96$ .

$96$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = - 6$ تساوي $96$ .

$y = 96$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f (- 3) = - 3 {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 60$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

اضرب $- 3$ في ${(- 3)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1.1

اضرب $- 3$ في ${(- 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $1$ .

$f (- 3) = (- 3) {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 60$

خطوة 2.8.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 3) = {(- 3)}^{1 + 2} - 24 \cdot - 3 + 60$

خطوة 2.8.1.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$f (- 3) = {(- 3)}^{3} - 24 \cdot - 3 + 60$

خطوة 2.8.1.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$f (- 3) = - 27 - 24 \cdot - 3 + 60$

خطوة 2.8.1.3

اضرب $- 24$ في $- 3$ .

$f (- 3) = - 27 + 72 + 60$

خطوة 2.8.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

أضف $- 27$ و $72$ .

$f (- 3) = 45 + 60$

خطوة 2.8.2.2

أضف $45$ و $60$ .

$f (- 3) = 105$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي $105$ .

$105$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = - 3$ تساوي $105$ .

$y = 105$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = - 3 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 60$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = - 3 \cdot 4 - 24 \cdot - 2 + 60$

خطوة 2.11.1.2

اضرب $- 3$ في $4$ .

$f (- 2) = - 12 - 24 \cdot - 2 + 60$

خطوة 2.11.1.3

اضرب $- 24$ في $- 2$ .

$f (- 2) = - 12 + 48 + 60$

خطوة 2.11.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

أضف $- 12$ و $48$ .

$f (- 2) = 36 + 60$

خطوة 2.11.2.2

أضف $36$ و $60$ .

$f (- 2) = 96$

خطوة 2.11.3

الإجابة النهائية هي $96$ .

$96$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = - 2$ تساوي $96$ .

$y = 96$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 96 \\ - 5 & 105 \\ - 4 & 108 \\ - 3 & 105 \\ - 2 & 96 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(- 4, 108)$

البؤرة: $(- 4, \frac{1295}{12})$

محور التناظر: $x = - 4$

الدليل: $y = \frac{1297}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 96 \\ - 5 & 105 \\ - 4 & 108 \\ - 3 & 105 \\ - 2 & 96 \end{array}$

خطوة 4