ما قبل الجبر الأمثلة

$x^{2} - 16 y^{2} - 8 x - 64 y - 64$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الزائد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $64$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} - 16 y^{2} - 8 x - 64 y = 64$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $x^{2} - 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 4}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.4

اقسِم $- 4$ على $1$ .

$d = - 4$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $64$ على $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $16$ .

$e = 0 - 16$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $16$ من $0$ .

$e = - 16$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(x - 4)}^{2} - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16$

خطوة 1.3

استبدِل $x^{2} - 8 x$ بـ ${(x - 4)}^{2} - 16$ في المعادلة $x^{2} - 16 y^{2} - 8 x - 64 y = 64$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 - 16 y^{2} - 64 y = 64$

خطوة 1.4

انقُل $- 16$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $16$ إلى كلا الطرفين.

${(x - 4)}^{2} - 16 y^{2} - 64 y = 64 + 16$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $- 16 y^{2} - 64 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 16$

$b = - 64$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot - 16}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 64$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 16}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (- 16)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot - 16}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 32}{- 16}$

خطوة 1.5.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 32$ و $- 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $- 16$ من $- 32$ .

$d = \frac{- 16 (2)}{- 16}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $- 16$ من $- 16$ .

$d = \frac{- 16 \cdot 2}{- 16 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{- 16 \cdot 2}{- 16 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{2}{1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$d = 2$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot - 16}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $- 64$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot - 16}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{- 64}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $4096$ على $- 64$ .

$e = 0 - - 64$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 64$ .

$e = 0 + 64$

خطوة 1.5.4.2.2

أضف $0$ و $64$ .

$e = 64$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 16 {(y + 2)}^{2} + 64$ .

$- 16 {(y + 2)}^{2} + 64$

خطوة 1.6

استبدِل $- 16 y^{2} - 64 y$ بـ $- 16 {(y + 2)}^{2} + 64$ في المعادلة $x^{2} - 16 y^{2} - 8 x - 64 y = 64$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} + 64 = 64 + 16$

خطوة 1.7

انقُل $64$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $64$ إلى كلا الطرفين.

${(x - 4)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} = 64 + 16 - 64$

خطوة 1.8

بسّط $64 + 16 - 64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $64$ و $16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} = 80 - 64$

خطوة 1.8.2

اطرح $64$ من $80$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 {(y + 2)}^{2} = 16$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $16$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{16 {(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{1} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 4$

$b = 1$

$k = - 2$

$h = 4$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(4, - 2)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(1)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{16 + {(1)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{16 + 1}$

خطوة 5.3.3

أضف $16$ و $1$ .

$\sqrt{17}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(8, - 2)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, - 2)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h \pm a, k)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(8, - 2), (0, - 2)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(4 + \sqrt{17}, - 2)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(4 - \sqrt{17}, - 2)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(4 + \sqrt{17}, - 2), (4 - \sqrt{17}, - 2)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(1)}^{2}}}{4}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 1^{2}}}{4}$

خطوة 8.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\sqrt{16 + 1}}{4}$

خطوة 8.3.3

أضف $16$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{17}}{4}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{17}}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{\sqrt{17}}$

خطوة 9.3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{17}}$ في $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$

خطوة 9.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{17}}$ في $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

خطوة 9.3.3.2

ارفع $\sqrt{17}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}}$

خطوة 9.3.3.3

ارفع $\sqrt{17}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}}$

خطوة 9.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}}$

خطوة 9.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{17}}^{2}$ بالصيغة $17$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{17}$ في صورة $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{17}}{17^{1}}$

خطوة 9.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{17}}{17}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح على اليسار واليمين.

$y = \pm \frac{1}{4} \cdot (x - (4)) - 2$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x - (4)) - 2$

خطوة 11.2

بسّط $\frac{1}{4} \cdot (x - (4)) - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x - 4) - 2$

خطوة 11.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 4 - 2$

خطوة 11.2.1.3

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 4 - 2$

خطوة 11.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1)) - 2$

خطوة 11.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1) - 2$

خطوة 11.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x}{4} - 1 - 2$

خطوة 11.2.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$y = \frac{x}{4} - 3$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{1}{4} \cdot (x - (4)) - 2$

خطوة 12.2

بسّط $- \frac{1}{4} \cdot (x - (4)) - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y = - \frac{1}{4} \cdot (x - 4) - 2$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 4 - 2$

خطوة 12.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 4 - 2$

خطوة 12.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{4}$ إلى بسط الكسر.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot - 4 - 2$

خطوة 12.2.1.4.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- 1)) - 2$

خطوة 12.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot - 1) - 2$

خطوة 12.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{x}{4} - 1 \cdot - 1 - 2$

خطوة 12.2.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = - \frac{x}{4} + 1 - 2$

خطوة 12.2.2

اطرح $2$ من $1$ .

$y = - \frac{x}{4} - 1$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{x}{4} - 3, y = - \frac{x}{4} - 1$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(4, - 2)$

الرؤوس: $(8, - 2), (0, - 2)$

البؤر: $(4 + \sqrt{17}, - 2), (4 - \sqrt{17}, - 2)$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{17}}{4}$

المعلمة البؤرية: $\frac{\sqrt{17}}{17}$

خطوط التقارب: $y = \frac{x}{4} - 3$ ، $y = - \frac{x}{4} - 1$

خطوة 15