ما قبل الجبر الأمثلة

$y^{2} - x^{2} - 6 y - 10 x - 25 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الزائد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $25$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{2} - x^{2} - 6 y - 10 x = 25$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $y^{2} - 6 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 3}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.4

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$d = - 3$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $36$ على $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $9$ .

$e = 0 - 9$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $9$ من $0$ .

$e = - 9$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y - 3)}^{2} - 9$ .

${(y - 3)}^{2} - 9$

خطوة 1.3

استبدِل $y^{2} - 6 y$ بـ ${(y - 3)}^{2} - 9$ في المعادلة $y^{2} - x^{2} - 6 y - 10 x = 25$ .

${(y - 3)}^{2} - 9 - x^{2} - 10 x = 25$

خطوة 1.4

انقُل $- 9$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $9$ إلى كلا الطرفين.

${(y - 3)}^{2} - x^{2} - 10 x = 25 + 9$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $- x^{2} - 10 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = - 10$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{- 5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 5$

خطوة 1.5.3.2.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot - 5$ بالصيغة $- - 5$ .

$d = - - 5$

خطوة 1.5.3.2.3

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$d = 5$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $- 10$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 4}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $100$ على $- 4$ .

$e = 0 - - 25$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 25$ .

$e = 0 + 25$

خطوة 1.5.4.2.2

أضف $0$ و $25$ .

$e = 25$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x + 5)}^{2} + 25$ .

$- {(x + 5)}^{2} + 25$

خطوة 1.6

استبدِل $- x^{2} - 10 x$ بـ $- {(x + 5)}^{2} + 25$ في المعادلة $y^{2} - x^{2} - 6 y - 10 x = 25$ .

${(y - 3)}^{2} - {(x + 5)}^{2} + 25 = 25 + 9$

خطوة 1.7

انقُل $25$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $25$ إلى كلا الطرفين.

${(y - 3)}^{2} - {(x + 5)}^{2} = 25 + 9 - 25$

خطوة 1.8

بسّط $25 + 9 - 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $25$ و $9$ .

${(y - 3)}^{2} - {(x + 5)}^{2} = 34 - 25$

خطوة 1.8.2

اطرح $25$ من $34$ .

${(y - 3)}^{2} - {(x + 5)}^{2} = 9$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $9$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{9} - \frac{{(x + 5)}^{2}}{9} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 3$

$b = 3$

$k = 3$

$h = - 5$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(- 5, 3)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(3)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{9 + {(3)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{9 + 9}$

خطوة 5.3.3

أضف $9$ و $9$ .

$\sqrt{18}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $18$ بالصيغة $3^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $9$ من $18$ .

$\sqrt{9 (2)}$

خطوة 5.3.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 2}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$3 \sqrt{2}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 5, 6)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 5, 0)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h, k \pm a)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(- 5, 6), (- 5, 0)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 5, 3 + 3 \sqrt{2})$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 5, 3 - 3 \sqrt{2})$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(- 5, 3 + 3 \sqrt{2}), (- 5, 3 - 3 \sqrt{2})$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(3)}^{2}}}{3}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{2}}}{3}$

خطوة 8.3.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 9}}{3}$

خطوة 8.3.1.3

أضف $9$ و $9$ .

$\frac{\sqrt{18}}{3}$

خطوة 8.3.1.4

أعِد كتابة $18$ بالصيغة $3^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.1

أخرِج العامل $9$ من $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)}}{3}$

خطوة 8.3.1.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

خطوة 8.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{3 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 8.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 8.3.2.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$\sqrt{2}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{3^{2}}{3 \sqrt{2}}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $3^{2}$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{2}}$

خطوة 9.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (\sqrt{2})}$

خطوة 9.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{2}}$

خطوة 9.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

خطوة 9.3.2

اضرب $\frac{3}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 9.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اضرب $\frac{3}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 9.3.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 9.3.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 9.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 9.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 9.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح إلى أعلى وإلى أسفل.

$y = \pm 1 \cdot (x - (- 5)) + 3$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = 1 \cdot (x - (- 5)) + 3$

خطوة 11.2

بسّط $1 \cdot (x - (- 5)) + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $x - (- 5)$ في $1$ .

$y = x - (- 5) + 3$

خطوة 11.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$y = x + 5 + 3$

خطوة 11.2.2

أضف $5$ و $3$ .

$y = x + 8$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - 1 \cdot (x - (- 5)) + 3$

خطوة 12.2

بسّط $- 1 \cdot (x - (- 5)) + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$y = - 1 \cdot (x + 5) + 3$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - 1 x - 1 \cdot 5 + 3$

خطوة 12.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot 5 + 3$

خطوة 12.2.1.4

اضرب $- 1$ في $5$ .

$y = - x - 5 + 3$

خطوة 12.2.2

أضف $- 5$ و $3$ .

$y = - x - 2$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = x + 8, y = - x - 2$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(- 5, 3)$

الرؤوس: $(- 5, 6), (- 5, 0)$

البؤر: $(- 5, 3 + 3 \sqrt{2}), (- 5, 3 - 3 \sqrt{2})$

الاختلاف المركزي: $\sqrt{2}$

المعلمة البؤرية: $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

خطوط التقارب: $y = x + 8$ ، $y = - x - 2$

خطوة 15