ما قبل الجبر الأمثلة

$18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y + 203 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $203$ من كلا المتعادلين.

$18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $18 x^{2} - 126 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 18$

$b = - 126$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 126}{2 \cdot 18}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 126$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 126$ .

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 \cdot 18}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 (18)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 \cdot 18}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 63}{18}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 63$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $- 63$ .

$d = \frac{9 (- 7)}{18}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 7}{9 \cdot 2}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{9 \cdot - 7}{9 \cdot 2}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 7}{2}$

خطوة 1.2.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{7}{2}$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 126)}^{2}}{4 \cdot 18}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 126$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{15876}{4 \cdot 18}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $18$ .

$e = 0 - \frac{15876}{72}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $15876$ و $72$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.3.1

أخرِج العامل $36$ من $15876$ .

$e = 0 - \frac{36 (441)}{72}$

خطوة 1.2.4.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $36$ من $72$ .

$e = 0 - \frac{36 \cdot 441}{36 \cdot 2}$

خطوة 1.2.4.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{36 \cdot 441}{36 \cdot 2}$

خطوة 1.2.4.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{441}{2}$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $\frac{441}{2}$ من $0$ .

$e = - \frac{441}{2}$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$

خطوة 1.3

استبدِل $18 x^{2} - 126 x$ بـ $18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$ في المعادلة $18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2} + 2 y^{2} + 2 y = - 203$

خطوة 1.4

انقُل $- \frac{441}{2}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $\frac{441}{2}$ إلى كلا الطرفين.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 y^{2} + 2 y = - 203 + \frac{441}{2}$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $2 y^{2} + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 2$

$b = 2$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.5.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.5.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{1}{2}$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $2^{2}$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2^{2}$ .

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.5.4.2.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 \cdot 2$ .

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

خطوة 1.5.4.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

خطوة 1.5.4.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.5.4.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{1}{2}$

خطوة 1.5.4.2.2

اطرح $\frac{1}{2}$ من $0$ .

$e = - \frac{1}{2}$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ .

$2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 1.6

استبدِل $2 y^{2} + 2 y$ بـ $2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ في المعادلة $18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} = - 203 + \frac{441}{2}$

خطوة 1.7

انقُل $- \frac{1}{2}$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $\frac{1}{2}$ إلى كلا الطرفين.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{441}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 1.8

بسّط $- 203 + \frac{441}{2} + \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{441 + 1}{2}$

خطوة 1.8.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.1

أضف $441$ و $1$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{442}{2}$

خطوة 1.8.2.2

اقسِم $442$ على $2$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + 221$

خطوة 1.8.2.3

أضف $- 203$ و $221$ .

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 18$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $18$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{18 {(x - \frac{7}{2})}^{2}}{18} + \frac{2 {(y + \frac{1}{2})}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{{(y + \frac{1}{2})}^{2}}{9} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 3$

$b = 1$

$k = - \frac{1}{2}$

$h = \frac{7}{2}$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2})$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{9 - {(1)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{9 - 1 \cdot 1}$

خطوة 5.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\sqrt{9 - 1}$

خطوة 5.3.4

اطرح $1$ من $9$ .

$\sqrt{8}$

خطوة 5.3.5

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

خطوة 5.3.5.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

خطوة 5.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{2}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 3)$

خطوة 6.3

بسّط.

$(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - (3))$

خطوة 6.6

بسّط.

$(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - (2 \sqrt{2}))$

خطوة 7.5

بسّط.

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

خطوة 7.6

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}}{3}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1^{2}}}{3}$

خطوة 8.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 1}}{3}$

خطوة 8.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1}}{3}$

خطوة 8.3.4

اطرح $1$ من $9$ .

$\frac{\sqrt{8}}{3}$

خطوة 8.3.5

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.5.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{3}$

خطوة 8.3.5.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

خطوة 8.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

الاختلاف المركزي: $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

خطوة 10