ما قبل الجبر الأمثلة

$(10, 5)$ , $(23, - 4)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 \cdot 23 + 5 \cdot - 4$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $10$ في $23$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 230 + 5 \cdot - 4$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $5$ في $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 230 - 20$

خطوة 2.2.2

اطرح $20$ من $230$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 210$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2} + 5^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 5^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100 + 25}$

خطوة 3.2.3

أضف $100$ و $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{125}$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة $125$ بالصيغة $5^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أخرِج العامل $25$ من $125$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 (5)}$

خطوة 3.2.4.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 5}$

خطوة 3.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| a⃗ | = 5 \sqrt{5}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{23^{2} + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $23$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{529 + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{529 + 16}$

خطوة 4.2.3

أضف $529$ و $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{545}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{210}{5 \sqrt{5} \sqrt{545}})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $210$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $5$ من $210$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 42}{5 \sqrt{5} \sqrt{545}})$

خطوة 6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \sqrt{5} \sqrt{545}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 42}{5 (\sqrt{5} \sqrt{545})})$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 42}{5 (\sqrt{5} \sqrt{545})})$

خطوة 6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{5} \sqrt{545}})$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{5 \cdot 545}})$

خطوة 6.2.2

اضرب $5$ في $545$ .

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{2725}})$

خطوة 6.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أعِد كتابة $2725$ بالصيغة $5^{2} \cdot 109$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

أخرِج العامل $25$ من $2725$ .

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{25 (109)}})$

خطوة 6.3.1.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{42}{\sqrt{5^{2} \cdot 109}})$

خطوة 6.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$θ = \arccos (\frac{42}{5 \sqrt{109}})$

خطوة 6.4

اضرب $\frac{42}{5 \sqrt{109}}$ في $\frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}}$ .

$θ = \arccos (\frac{42}{5 \sqrt{109}} \cdot \frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}})$

خطوة 6.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $\frac{42}{5 \sqrt{109}}$ في $\frac{\sqrt{109}}{\sqrt{109}}$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \sqrt{109} \sqrt{109}})$

خطوة 6.5.2

انقُل $\sqrt{109}$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 (\sqrt{109} \sqrt{109})})$

خطوة 6.5.3

ارفع $\sqrt{109}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 ({\sqrt{109}}^{1} \sqrt{109})})$

خطوة 6.5.4

ارفع $\sqrt{109}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 ({\sqrt{109}}^{1} {\sqrt{109}}^{1})})$

خطوة 6.5.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 {\sqrt{109}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.5.6

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 {\sqrt{109}}^{2}})$

خطوة 6.5.7

أعِد كتابة ${\sqrt{109}}^{2}$ بالصيغة $109$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{109}$ في صورة $109^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.5.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.5.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.5.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.5.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109^{1}})$

خطوة 6.5.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{5 \cdot 109})$

خطوة 6.6

اضرب $5$ في $109$ .

$θ = \arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{545})$

خطوة 6.7

احسِب قيمة $\arccos (\frac{42 \sqrt{109}}{545})$ .

$θ = 36.43085812$