ما قبل الجبر الأمثلة

$x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$

خطوة 1

حلّل $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

خطوة 1.3

عوّض بـ $2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $2$ في متعدد الحدود.

$2^{4} + 2 \cdot 2^{3} - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

خطوة 1.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$16 + 2 \cdot 2^{3} - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

خطوة 1.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$16 + 2 \cdot 8 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

خطوة 1.3.4

اضرب $2$ في $8$ .

$16 + 16 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

خطوة 1.3.5

أضف $16$ و $16$ .

$32 - 11 \cdot 2^{2} - 12 \cdot 2 + 36$

خطوة 1.3.6

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$32 - 11 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 36$

خطوة 1.3.7

اضرب $- 11$ في $4$ .

$32 - 44 - 12 \cdot 2 + 36$

خطوة 1.3.8

اطرح $44$ من $32$ .

$- 12 - 12 \cdot 2 + 36$

خطوة 1.3.9

اضرب $- 12$ في $2$ .

$- 12 - 24 + 36$

خطوة 1.3.10

اطرح $24$ من $- 12$ .

$- 36 + 36$

خطوة 1.3.11

أضف $- 36$ و $36$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $2$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36}{x - 2}$

خطوة 1.5

اقسِم $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ على $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{4}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{4} - 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x^{3} - 8 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 3 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 3 x^{2} + 6 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

خطوة 1.5.16

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

خطوة 1.5.17

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 18 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

خطوة 1.5.18

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

خطوة 1.5.19

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 18 x + 36$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

خطوة 1.5.20

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$2$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$12 x$

$36$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x^{2}$

$12 x$

$3 x^{2}$

$6 x$

$18 x$

$36$

$18 x$

$36$

$0$

خطوة 1.5.21

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$

خطوة 1.6

اكتب $x^{4} + 2 x^{3} - 11 x^{2} - 12 x + 36$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 2) (x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18)$

خطوة 2

حلّل $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

خطوة 2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

خطوة 2.3

عوّض بـ $2$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $2$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عوّض بـ $2$ في متعدد الحدود.

$2^{3} + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

خطوة 2.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 18$

خطوة 2.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 18$

خطوة 2.3.4

اضرب $4$ في $4$ .

$8 + 16 - 3 \cdot 2 - 18$

خطوة 2.3.5

أضف $8$ و $16$ .

$24 - 3 \cdot 2 - 18$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 3$ في $2$ .

$24 - 6 - 18$

خطوة 2.3.7

اطرح $6$ من $24$ .

$18 - 18$

خطوة 2.3.8

اطرح $18$ من $18$ .

$0$

خطوة 2.4

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18}{x - 2}$

خطوة 2.5

اقسِم $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ على $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

خطوة 2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$

خطوة 2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

خطوة 2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

خطوة 2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

خطوة 2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

خطوة 2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $6 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

خطوة 2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$12 x$

خطوة 2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$

خطوة 2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$

خطوة 2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

خطوة 2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $9 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$

خطوة 2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

خطوة 2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $9 x - 18$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

خطوة 2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

خطوة 2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 6 x + 9$

خطوة 2.6

اكتب $x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 18$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 6 x + 9))$

خطوة 3

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 6 x + 3^{2}))$

خطوة 3.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(x - 2) ((x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}))$

خطوة 3.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$(x - 2) ((x - 2) {(x + 3)}^{2})$

خطوة 3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 2) (x - 2) {(x + 3)}^{2}$

خطوة 4

جمّع العوامل المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ارفع $x - 2$ إلى القوة $1$ .

${(x - 2)}^{1} (x - 2) {(x + 3)}^{2}$

خطوة 4.2

ارفع $x - 2$ إلى القوة $1$ .

${(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1} {(x + 3)}^{2}$

خطوة 4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${(x - 2)}^{1 + 1} {(x + 3)}^{2}$

خطوة 4.4

أضف $1$ و $1$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}$