ما قبل الجبر الأمثلة

$15 y^{8} + 30 y^{4} - 45 y^{2}$

خطوة 1

أخرِج العامل $15 y^{2}$ من $15 y^{8} + 30 y^{4} - 45 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $15 y^{2}$ من $15 y^{8}$ .

$15 y^{2} (y^{6}) + 30 y^{4} - 45 y^{2}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $15 y^{2}$ من $30 y^{4}$ .

$15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2}) - 45 y^{2}$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $15 y^{2}$ من $- 45 y^{2}$ .

$15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $15 y^{2}$ من $15 y^{2} (y^{6}) + 15 y^{2} (2 y^{2})$ .

$15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$

خطوة 1.5

أخرِج العامل $15 y^{2}$ من $15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2}) + 15 y^{2} (- 3)$ .

$15 y^{2} (y^{6} + 2 y^{2} - 3)$

خطوة 2

حلّل $y^{6} + 2 y^{2} - 3$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

خطوة 2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 3$

خطوة 2.3

عوّض بـ $- 1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

عوّض بـ $- 1$ في متعدد الحدود.

${(- 1)}^{6} + 2 {(- 1)}^{2} - 3$

خطوة 2.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$1 + 2 {(- 1)}^{2} - 3$

خطوة 2.3.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 + 2 \cdot 1 - 3$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$1 + 2 - 3$

خطوة 2.3.5

أضف $1$ و $2$ .

$3 - 3$

خطوة 2.3.6

اطرح $3$ من $3$ .

$0$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $y + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{y^{6} + 2 y^{2} - 3}{y + 1}$

خطوة 2.5

اقسِم $y^{6} + 2 y^{2} - 3$ على $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

خطوة 2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y^{6}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

خطوة 2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

خطوة 2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y^{6} + y^{5}$

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

خطوة 2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

خطوة 2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$y^{5}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

خطوة 2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- y^{5}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

خطوة 2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

خطوة 2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- y^{5} - y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

خطوة 2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

خطوة 2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

خطوة 2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $y^{4}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

خطوة 2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

خطوة 2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $y^{4} + y^{3}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

خطوة 2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

خطوة 2.5.16

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

خطوة 2.5.17

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- y^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

خطوة 2.5.18

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

خطوة 2.5.19

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- y^{3} - y^{2}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

خطوة 2.5.20

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

خطوة 2.5.21

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

خطوة 2.5.22

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 y^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

خطوة 2.5.23

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

خطوة 2.5.24

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 y^{2} + 3 y$

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

خطوة 2.5.25

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

خطوة 2.5.26

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

خطوة 2.5.27

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 3 y$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $y$ .

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

خطوة 2.5.28

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

خطوة 2.5.29

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 3 y - 3$

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

خطوة 2.5.30

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$y^{5}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y$

$3$

$y$

$1$

$y^{6}$

$0 y^{5}$

$0 y^{4}$

$0 y^{3}$

$2 y^{2}$

$0 y$

$3$

$y^{6}$

$y^{5}$

$0 y^{4}$

$y^{5}$

$y^{4}$

$0 y^{3}$

$y^{4}$

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$y^{3}$

$y^{2}$

$3 y^{2}$

$0 y$

$3 y^{2}$

$3 y$

$3$

$3 y$

$3$

$0$

خطوة 2.5.31

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$y^{5} - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3$

خطوة 2.6

اكتب $y^{6} + 2 y^{2} - 3$ في صورة مجموعة من العوامل.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{5} - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

خطوة 3

أخرِج العامل $y^{4}$ من $y^{5} - y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $y^{4}$ من $y^{5}$ .

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} y - y^{4} + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $y^{4}$ من $- y^{4}$ .

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} y + y^{4} \cdot - 1 + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $y^{4}$ من $y^{4} y + y^{4} \cdot - 1$ .

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + y^{3} - y^{2} + 3 y - 3))$

خطوة 4

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + (y^{3} - y^{2}) + 3 y - 3))$

خطوة 4.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + y^{2} (y - 1) + 3 (y - 1)))$

خطوة 5

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $y - 1$ .

$15 y^{2} ((y + 1) (y^{4} (y - 1) + (y - 1) (y^{2} + 3)))$

خطوة 6

أخرِج العامل $y - 1$ من $y^{4} (y - 1) + (y - 1) (y^{2} + 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $y - 1$ من $y^{4} (y - 1)$ .

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) y^{4} + (y - 1) (y^{2} + 3)))$

خطوة 6.2

أخرِج العامل $y - 1$ من $(y - 1) y^{4} + (y - 1) (y^{2} + 3)$ .

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)))$

خطوة 7

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احذِف الأقواس غير الضرورية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$15 y^{2} ((y + 1) ((y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)))$

خطوة 7.1.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$15 y^{2} ((y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3))$

خطوة 7.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$15 y^{2} (y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 3)$