ما قبل الجبر الأمثلة

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} < \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$

خطوة 1

اطرح $\frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16} < 0$

خطوة 2

بسّط $\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{x^{2} - 4^{2}} < 0$

خطوة 2.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 4$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.2

لكتابة $\frac{x + 1}{x - 4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.3

لكتابة $\frac{x - 2}{x + 4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x + 1}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x - 4) (x + 4)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب $\frac{x + 1}{x - 4}$ في $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{x - 2}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.4.2

اضرب $\frac{x - 2}{x + 4}$ في $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب عوامل $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{(x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{- 2 x^{2} + x + 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x + 1) (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

وسّع $(x + 1) (x + 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (x + 4) + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (x + 4) + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.2.1.2

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.2.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.2.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.2.2

أضف $4 x$ و $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + (x - 2) (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.3

وسّع $(x - 2) (x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x (x - 4) - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (x - 4) - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} + x \cdot - 4 - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.4.1.2

انقُل $- 4$ إلى يسار $x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 4 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.4.1.3

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 4 x - 2 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.4.2

اطرح $2 x$ من $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2} + x + 32)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.6.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.7.6.2

اضرب $- 1$ في $32$ .

$\frac{x^{2} + 5 x + 4 + x^{2} - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.8

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 + 2 x^{2} - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.9

أضف $2 x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 5 x + 4 - 6 x + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.10

اطرح $6 x$ من $5 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x + 4 + 8 - x - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.11

اطرح $x$ من $- x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 4 + 8 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.12

أضف $4$ و $8$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 12 - 32}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.13

اطرح $32$ من $12$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{2} - 2 x - 20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) - 2 x - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.14.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) - 20}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.14.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 20$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.14.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.14.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 x^{2} - x) + 2 (- 10)$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.14.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.2.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - (x) - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.14.2.1.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $4$ زائد $- 5$

$\frac{2 (2 x^{2} + (4 - 5) x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.14.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.14.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{2 ((2 x^{2} + 4 x) - 5 x - 10)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.14.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{2 (2 x (x + 2) - 5 (x + 2))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 2.14.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x + 2$ .

$\frac{2 ((x + 2) (2 x - 5))}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

$\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)} < 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 4

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 5

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 5$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $2 x = 5$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $2 x = 5$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

خطوة 7

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 8

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 9

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = - 2$

$x = \frac{5}{2}$

$x = - 4$

$x = 4$

خطوة 10

وحّد الحلول.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

خطوة 11

أوجِد نطاق $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2 (x + 2) (2 x - 5)}{(x + 4) (x - 4)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$(x + 4) (x - 4) = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 11.2.2

عيّن قيمة العبارة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 11.2.2.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 11.2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 11.2.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 11.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 4) (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = - 4, 4$

خطوة 11.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 12

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

خطوة 13

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 13.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(- 6) + 1}{(- 6) - 4} + \frac{(- 6) - 2}{(- 6) + 4} < \frac{- 2 {(- 6)}^{2} - 6 + 32}{{(- 6)}^{2} - 16}$

خطوة 13.1.3

الطرف الأيسر $4.5$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 2.3$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 13.2

اختبر قيمة في الفترة $- 4 < x < - 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 4 < x < - 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 3$

خطوة 13.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 3$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(- 3) + 1}{(- 3) - 4} + \frac{(- 3) - 2}{(- 3) + 4} < \frac{- 2 {(- 3)}^{2} - 3 + 32}{{(- 3)}^{2} - 16}$

خطوة 13.2.3

الطرف الأيسر $- 4.\overline{714285}$ أصغر من الطرف الأيمن $- 1.\overline{571428}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 13.3

اختبر قيمة في الفترة $- 2 < x < \frac{5}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اختر قيمة من الفترة $- 2 < x < \frac{5}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 13.3.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(0) + 1}{(0) - 4} + \frac{(0) - 2}{(0) + 4} < \frac{- 2 {(0)}^{2} + 0 + 32}{{(0)}^{2} - 16}$

خطوة 13.3.3

الطرف الأيسر $- 0.75$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 2$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 13.4

اختبر قيمة في الفترة $\frac{5}{2} < x < 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{5}{2} < x < 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 13.4.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(3) + 1}{(3) - 4} + \frac{(3) - 2}{(3) + 4} < \frac{- 2 {(3)}^{2} + 3 + 32}{{(3)}^{2} - 16}$

خطوة 13.4.3

الطرف الأيسر $- 3.\overline{857142}$ أصغر من الطرف الأيمن $- 2.\overline{428571}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 13.5

اختبر قيمة في الفترة $x > 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

اختر قيمة من الفترة $x > 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 13.5.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(6) + 1}{(6) - 4} + \frac{(6) - 2}{(6) + 4} < \frac{- 2 {(6)}^{2} + 6 + 32}{{(6)}^{2} - 16}$

خطوة 13.5.3

الطرف الأيسر $3.9$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 1.7$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 13.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 4$ خطأ

$- 4 < x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ خطأ

$\frac{5}{2} < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

$x < - 4$ خطأ

$- 4 < x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < \frac{5}{2}$ خطأ

$\frac{5}{2} < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

خطوة 14

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 4 < x < - 2$ أو $\frac{5}{2} < x < 4$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$- 4 < x < - 2 or \frac{5}{2} < x < 4$

ترميز الفترة:

$(- 4, - 2) \cup (\frac{5}{2}, 4)$

خطوة 16