الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

خطوة 1

Find the inverse of $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

خطوة 1.2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

خطوة 1.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

اضرب $4$ في $1$ .

$4 - 1 \cdot 2$

خطوة 1.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 - 2$

خطوة 1.2.2.2

اطرح $2$ من $4$ .

$2$

خطوة 1.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 1.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{2} [\begin{array}{c} 4 & - 2 \\ - 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.6

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) & \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.6.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.6.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} 2 & \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ \frac{1}{2} \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ \frac{- 1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.6.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 1.6.5

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

خطوة 2

Multiply both sides by the inverse of $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

خطوة 3

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

خطوة 3.1.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$[\begin{array}{c} 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 & 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 \\ - \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

خطوة 3.1.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

خطوة 3.2

Multiplying the identity matrix by any matrix $A$ is the matrix $A$ itself.

$x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$

خطوة 3.3

اضرب $[\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} 11 \\ 17 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

خطوة 3.3.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$x = [\begin{array}{c} 2 \cdot 11 - 1 \cdot 17 \\ - \frac{1}{2} \cdot 11 + \frac{1}{2} \cdot 17 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$x = [\begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array}]$