الجبر الخطي الأمثلة

$\frac{2}{3} x - \frac{1}{3} y = 1$ , $2 x + \frac{2}{3} y = \frac{4}{3}$

خطوة 1

أوجِد $A X = B$ من سلسلة المعادلات.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ 2 & \frac{2}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ \frac{4}{3} \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد معكوس مصفوفة المعامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

خطوة 2.2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} - 2 (- \frac{1}{3})$

خطوة 2.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اضرب $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} - 2 (- \frac{1}{3})$

خطوة 2.2.2.1.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4}{3 \cdot 3} - 2 (- \frac{1}{3})$

خطوة 2.2.2.1.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{4}{9} - 2 (- \frac{1}{3})$

خطوة 2.2.2.1.2

اضرب $- 2 (- \frac{1}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{4}{9} + 2 (\frac{1}{3})$

خطوة 2.2.2.1.2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{9} + \frac{2}{3}$

خطوة 2.2.2.2

لكتابة $\frac{2}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 2.2.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $9$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.3.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

خطوة 2.2.2.3.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{4}{9} + \frac{2 \cdot 3}{9}$

خطوة 2.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 + 2 \cdot 3}{9}$

خطوة 2.2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.5.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{4 + 6}{9}$

خطوة 2.2.2.5.2

أضف $4$ و $6$ .

$\frac{10}{9}$

خطوة 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{10}{9}} [\begin{array}{c} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ - 2 & \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 (\frac{9}{10}) [\begin{array}{c} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ - 2 & \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.6

اضرب $\frac{9}{10}$ في $1$ .

$\frac{9}{10} [\begin{array}{c} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ - 2 & \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.7

اضرب $\frac{9}{10}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} & \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{3} \\ \frac{9}{10} \cdot - 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 (3)}{10} \cdot \frac{2}{3} & \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{3} \\ \frac{9}{10} \cdot - 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 3}{10} \cdot \frac{2}{3} & \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{3} \\ \frac{9}{10} \cdot - 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{10} \cdot 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{3} \\ \frac{9}{10} \cdot - 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{2 (5)} \cdot 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{3} \\ \frac{9}{10} \cdot - 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{2 \cdot 5} \cdot 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{3} \\ \frac{9}{10} \cdot - 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{3} \\ \frac{9}{10} \cdot - 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.3.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3 (3)}{10} \cdot \frac{1}{3} \\ \frac{9}{10} \cdot - 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3 \cdot 3}{10} \cdot \frac{1}{3} \\ \frac{9}{10} \cdot - 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{9}{10} \cdot - 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.4.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{9}{2 (5)} \cdot - 2 & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{9}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{9}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{9}{5} \cdot - 1 & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.5

اجمع $\frac{9}{5}$ و $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{9 \cdot - 1}{5} & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.6

اضرب $9$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ \frac{- 9}{5} & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{9}{5} & \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.8

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.8.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{9}{5} & \frac{3 (3)}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{9}{5} & \frac{3 \cdot 3}{10} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.8.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{9}{5} & \frac{3}{10} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 2.8.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.9.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{9}{5} & \frac{3}{2 (5)} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 2.8.9.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{9}{5} & \frac{3}{2 \cdot 5} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 2.8.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{9}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

خطوة 3

اضرب من اليسار كلا طرفي معادلة المصفوفة في المصفوفة المعكوسة.

$([\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{9}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ 2 & \frac{2}{3} \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{9}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ \frac{4}{3} \end{array}]$

خطوة 4

أي مصفوفة مضروبة في معكوسها تساوي $1$ طوال الوقت. $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{9}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ \frac{4}{3} \end{array}]$

خطوة 5

اضرب $[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{10} \\ - \frac{9}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 \\ \frac{4}{3} \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

خطوة 5.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{10} \cdot \frac{4}{3} \\ - \frac{9}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{3} \end{array}]$

خطوة 5.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]$

خطوة 6

بسّط الطرفين الأيسر والأيمن.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]$

خطوة 7

أوجِد الحل.

$x = 1$

$y = - 1$