الجبر الخطي الأمثلة

- 13 x = 97 - 19 y

$- 13 x = 97 - 19 y$ ,

- 17 x = 83 + 19 y

$- 17 x = 83 + 19 y$

خطوة 1

أوجِد

A X = B

$A X = B$ من سلسلة المعادلات.

[\begin{matrix} - 13 & 19 - 17 & - 19 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 9783 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 13 & 19 \\ - 17 & - 19 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 97 \\ 83 \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد معكوس مصفوفة المعامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

خطوة 2.2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

2 \times 2

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 13 \cdot - 19 - (- 17 \cdot 19)

$- 13 \cdot - 19 - (- 17 \cdot 19)$

خطوة 2.2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اضرب

- 13

$- 13$ في

- 19

$- 19$ .

247 - (- 17 \cdot 19)

$247 - (- 17 \cdot 19)$

خطوة 2.2.2.1.2

اضرب

- (- 17 \cdot 19)

$- (- 17 \cdot 19)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.2.1

اضرب

- 17

$- 17$ في

19

$19$ .

247 - - 323

$247 - - 323$

خطوة 2.2.2.1.2.2

اضرب

- 1

$- 1$ في

- 323

$- 323$ .

247 + 323

$247 + 323$

247 + 323

$247 + 323$

247 + 323

$247 + 323$

خطوة 2.2.2.2

أضف

247

$247$ و

323

$323$ .

570

$570$

570

$570$

570

$570$

خطوة 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{570} [\begin{matrix} - 19 & - 19 17 & - 13 \end{matrix}]

$\frac{1}{570} [\begin{array}{c} - 19 & - 19 \\ 17 & - 13 \end{array}]$

خطوة 2.5

اضرب

\frac{1}{570}

$\frac{1}{570}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

[\begin{matrix} \frac{1}{570} \cdot - 19 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{570} \cdot - 19 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ

19

$19$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

أخرِج العامل

19

$19$ من

570

$570$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{19 (30)} \cdot - 19 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{19 (30)} \cdot - 19 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.1.2

أخرِج العامل

19

$19$ من

- 19

$- 19$ .

[\begin{matrix} \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) & \frac{1}{570} \cdot - 19 \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{30} \cdot - 1 & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.2

اجمع

$\frac{1}{30}$ و

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{30} & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{570} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ

$19$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.4.1

أخرِج العامل

$19$ من

$570$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{19 (30)} \cdot - 19 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.4.2

أخرِج العامل

$19$ من

$- 19$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{19 \cdot 30} \cdot (19 \cdot - 1) \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{1}{30} \cdot - 1 \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.5

اجمع

$\frac{1}{30}$ و

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & \frac{- 1}{30} \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{1}{570} \cdot 17 & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.7

اجمع

$\frac{1}{570}$ و

$17$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & \frac{1}{570} \cdot - 13 \end{array}]$

خطوة 2.6.8

اجمع

$\frac{1}{570}$ و

$- 13$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & \frac{- 13}{570} \end{array}]$

خطوة 2.6.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}]$

خطوة 3

اضرب من اليسار كلا طرفي معادلة المصفوفة في المصفوفة المعكوسة.

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - 13 & 19 \\ - 17 & - 19 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 97 \\ 83 \end{array}]$

خطوة 4

أي مصفوفة مضروبة في معكوسها تساوي

$1$ طوال الوقت.

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 97 \\ 83 \end{array}]$

خطوة 5

اضرب

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} & - \frac{1}{30} \\ \frac{17}{570} & - \frac{13}{570} \end{array}] [\begin{array}{c} 97 \\ 83 \end{array}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

$2 \times 2$ and the second matrix is

$2 \times 1$ .

خطوة 5.2

اضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{30} \cdot 97 - \frac{1}{30} \cdot 83 \\ \frac{17}{570} \cdot 97 - \frac{13}{570} \cdot 83 \end{array}]$

خطوة 5.3

بسّط كل عنصر من عناصر المصفوفة بضرب جميع العبارات.

$[\begin{array}{c} - 6 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 6

بسّط الطرفين الأيسر والأيمن.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 7

أوجِد الحل.

$x = - 6$

$y = 1$